Чтобы найти сумму целых решений неравенства 2x^2 ≤ 5x + 12, начнем с преобразования неравенства в более удобный вид.

1. Переносим все члены в одну сторону неравенства:
2x^2 - 5x - 12 ≤ 0
2. Теперь нам нужно решить соответствующее уравнение:
2x^2 - 5x - 12 = 0
3. Для решения используем дискриминант:
• Дискриминант D = b^2 - 4ac, где a = 2, b = -5, c = -12.
• Подставим значения: D = (-5)^2 - 4 * 2 * (-12) = 25 + 96 = 121.
4. Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня:
x1 = (5 + √121) / (2 * 2) = (5 + 11) / 4 = 16 / 4 = 4 x2 = (5 - √121) / (2 * 2) = (5 - 11) / 4 = -6 / 4 = -3/2
5. Теперь находим целые корни. Поскольку x2 = -3/2, мы округляем его до -1 и -2. Таким образом, у нас есть два целых значения x:
x = -1 и x = 4
6. Теперь определим промежутки, где неравенство 2x^2 - 5x - 12 ≤ 0 выполняется. Для этого используем найденные корни:
• Проверяем интервалы: (-∞, -1), (-1, 4), (4, +∞).
• Подставляем тестовые значения из каждого интервала:
• Для интервала (-∞, -1): например, x = -2: 2(-2)^2 - 5(-2) - 12 = 8 + 10 - 12 = 6 (положительное).
• Для интервала (-1, 4): например, x = 0: 2(0)^2 - 5(0) - 12 = -12 (отрицательное).
• Для интервала (4, +∞): например, x = 5: 2(5)^2 - 5(5) - 12 = 50 - 25 - 12 = 13 (положительное).
7. Таким образом, неравенство выполняется на промежутке [-1, 4].

Теперь найдем целые решения в этом промежутке:

• x = -1
• x = 0
• x = 1
• x = 2
• x = 3
• x = 4

Теперь складываем целые решения:

Таким образом, сумма целых решений неравенства 2x^2 ≤ 5x + 12 равна 9.