Похожие вопросы
2025-08-26 01:36:44
Какова сумма корней (или единственный корень) уравнения √(x + 8 + 2√(x + 7)) + √(x + 1) - √(x + 7) = 4?
Алгебра 11 класс Уравнения с корнями сумма корней уравнение алгебра корень √(x + 8 + 2√(x + 7)) √(x + 1) √(x + 7) решение уравнения 11 класс математические задачи Новый
2025-08-26 06:03:10
Давайте решим уравнение:
√(x + 8 + 2√(x + 7)) + √(x + 1) - √(x + 7) = 4.
Сначала упростим левую часть уравнения. Обратите внимание на первый корень:
√(x + 8 + 2√(x + 7)) можно представить в виде:
√((√(x + 7) + 1)²), так как (√(x + 7) + 1)² = x + 7 + 2√(x + 7) + 1 = x + 8 + 2√(x + 7).
Теперь подставим это обратно в уравнение:
√((√(x + 7) + 1)²) + √(x + 1) - √(x + 7) = 4.
Так как корень из квадратного выражения равен самому выражению (при условии, что оно не отрицательно), мы можем переписать уравнение как:
√(x + 7) + 1 + √(x + 1) - √(x + 7) = 4.
Сократим √(x + 7):
1 + √(x + 1) = 4.
Теперь вычтем 1 из обеих сторон:
√(x + 1) = 3.
Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат:
x + 1 = 9.
Вычтем 1:
x = 8.
Теперь мы нашли корень уравнения. Проверим, является ли он действительным решением, подставив его обратно в исходное уравнение:
√(8 + 8 + 2√(8 + 7)) + √(8 + 1) - √(8 + 7) = 4.
Это преобразуется в:
√(16 + 2√15) + √9 - √15.
Теперь вычислим:
√(16 + 2√15) = √((√15 + 4)²) = √15 + 4.
Таким образом, у нас есть:
(√15 + 4) + 3 - √15 = 4.
Сократим √15:
4 + 3 - √15 + √15 = 4, что верно.
Таким образом, мы подтвердили, что x = 8 является решением уравнения.
Теперь ответим на вопрос о сумме корней. Поскольку у нас есть только одно решение:
Сумма корней равна 8.
