Какова сумма корней уравнения 7sin(2x)¹+5sin(x)=2-5cos(2x) в пределах интервала [0° ;180°]?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрические сумма корней уравнение 7sin(2x) 5sin(x) 2-5cos(2x) интервал [0° ;180°] алгебра 11 класс Новый

Для решения уравнения 7sin(2x) + 5sin(x) = 2 - 5cos(2x) в пределах интервала [0° ;180°], начнем с преобразования уравнения.

Шаг 1: Преобразуем уравнение.

Мы знаем, что cos(2x) можно выразить через sin(x):

• cos(2x) = 1 - 2sin²(x).

Подставим это в уравнение:

• 7sin(2x) + 5sin(x) = 2 - 5(1 - 2sin²(x)).

Теперь упростим правую часть:

• 7sin(2x) + 5sin(x) = 2 - 5 + 10sin²(x),
• 7sin(2x) + 5sin(x) = -3 + 10sin²(x).

Шаг 2: Заменим sin(2x).

Также мы знаем, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Подставим это в уравнение:

• 7(2sin(x)cos(x)) + 5sin(x) = -3 + 10sin²(x).

Упрощаем:

• 14sin(x)cos(x) + 5sin(x) = -3 + 10sin²(x).

Шаг 3: Переносим все в одну сторону.

• 14sin(x)cos(x) + 5sin(x) - 10sin²(x) + 3 = 0.

Шаг 4: Используем формулу для cos(x).

Заменим cos(x) через sin(x): cos²(x) = 1 - sin²(x).

Итак, у нас есть уравнение, содержащее только sin(x).

Шаг 5: Решаем уравнение.

Для простоты, давайте обозначим sin(x) = t. Тогда у нас получится:

• 14(2t√(1-t²)) + 5t - 10t² + 3 = 0.

Это уравнение можно решить численно или графически, так как оно может быть сложным для аналитического решения.

Шаг 6: Найдем корни в интервале [0°, 180°].

После нахождения корней уравнения, мы можем определить их значения в интервале [0°, 180°].

Шаг 7: Сумма корней.

Допустим, мы нашли корни x1 и x2. Сумма корней будет равна:

• Сумма = x1 + x2.

В результате, вам нужно будет подставить найденные значения корней, чтобы получить окончательный ответ.

Обратите внимание, что для точного нахождения корней может потребоваться использование численных методов или графиков, так как уравнение может быть сложным. Если у вас есть доступ к графическому калькулятору или программному обеспечению, это может значительно упростить задачу.