Какова сумма первых пяти членов геометрической прогрессии (bn), если известно, что b5=16 и b8=1024?

Алгебра 11 класс Геометрическая прогрессия сумма первых пяти членов Геометрическая прогрессия b5=16 b8=1024 нахождение суммы алгебра 11 класс Новый

Чтобы найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, сначала нужно определить её первый член (b1) и общее отношение (q). Мы знаем, что:

• b5 = b1 * q^4 = 16
• b8 = b1 * q^7 = 1024

Теперь у нас есть две уравнения:

1. b1 * q^4 = 16
2. b1 * q^7 = 1024

Чтобы выразить b1 через q, мы можем использовать первое уравнение:

b1 = 16 / q^4

Теперь подставим это значение b1 во второе уравнение:

(16 / q^4) * q^7 = 1024

Упростим это уравнение:

16 * q^3 / q^4 = 1024

Это можно записать как:

16 * q^3 = 1024 * q^4

Теперь делим обе стороны на 16:

q^3 = 64 * q^4

Переносим все в одну сторону:

q^3 - 64 * q^4 = 0

Вынесем q^3 за скобки:

q^3 (1 - 64q) = 0

Это уравнение имеет два решения: q^3 = 0 (что невозможно, так как q не может быть равным 0) и 1 - 64q = 0. Решим второе уравнение:

64q = 1

q = 1/64

Теперь подставим найденное значение q обратно в формулу для b1:

b1 = 16 / (1/64)^4

Рассчитаем (1/64)^4:

(1/64)^4 = 1/16777216

Теперь подставим:

b1 = 16 * 16777216 = 268435456

Теперь, когда мы знаем b1 и q, можем найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии. Сумма S5 первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

S5 = b1 * (1 - q^5) / (1 - q)

Подставим известные значения:

S5 = 268435456 * (1 - (1/64)^5) / (1 - 1/64)

Вычислим (1/64)^5:

(1/64)^5 = 1/1073741824

Теперь подставим:

S5 = 268435456 * (1 - 1/1073741824) / (63/64)

Это можно упростить до:

S5 = 268435456 * (1073741823/1073741824) * (64/63)

Теперь можно посчитать S5:

S5 = 268435456 * 64 / 63 = 268435456 * 1.01587301587

В результате получаем:

S5 ≈ 268435456 * 1.01587301587 ≈ 272629760

Таким образом, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии составляет примерно 272629760.