Какова сумма первых пяти членов геометрической прогрессии, если b3 равно 18, а b5 равно 2?

Алгебра 11 класс Геометрическая прогрессия сумма первых пяти членов Геометрическая прогрессия b3 равно 18 b5 равно 2 Новый

Чтобы найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, нам нужно сначала определить её параметры: первый член (b1) и общее отношение (q).

У нас есть два условия:

• b3 = 18
• b5 = 2

Геометрическая прогрессия описывается формулой:

• b_n = b1 * q^(n-1)

Теперь подставим значения для b3 и b5:

• b3 = b1 * q^(3-1) = b1 * q^2 = 18
• b5 = b1 * q^(5-1) = b1 * q^4 = 2

Теперь у нас есть система уравнений:

1. b1 * q^2 = 18
2. b1 * q^4 = 2

Чтобы решить эту систему, мы можем выразить b1 через q из первого уравнения:

b1 = 18 / q^2

Теперь подставим это значение в второе уравнение:

(18 / q^2) * q^4 = 2

Упростим это уравнение:

18 * q^2 = 2

Теперь разделим обе стороны на 18:

q^2 = 2 / 18 = 1 / 9

Теперь найдем q:

q = ±1/3

Теперь подставим значение q обратно, чтобы найти b1. Мы возьмем положительное значение q, так как в геометрической прогрессии обычно рассматриваются положительные числа:

q = 1/3

Теперь подставим q в уравнение для b1:

b1 = 18 / (1/3)^2 = 18 / (1/9) = 18 * 9 = 162

Теперь у нас есть b1 и q:

• b1 = 162
• q = 1/3

Теперь мы можем найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии. Сумма S5 первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

S_n = b1 * (1 - q^n) / (1 - q)

Подставим наши значения:

S5 = 162 * (1 - (1/3)^5) / (1 - 1/3)

Теперь вычислим (1/3)^5:

(1/3)^5 = 1/243

Теперь подставим это значение в формулу:

S5 = 162 * (1 - 1/243) / (2/3)

Упростим выражение в скобках:

1 - 1/243 = 243/243 - 1/243 = 242/243

Теперь подставим это значение:

S5 = 162 * (242/243) / (2/3)

Умножим на обратное значение (2/3):

S5 = 162 * (242/243) * (3/2)

Теперь упростим:

S5 = 81 * (242/243)

Теперь вычислим 81 * 242:

81 * 242 = 19602

Теперь поделим на 243:

S5 = 19602 / 243 ≈ 80.8 (округленно)

Таким образом, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии составляет примерно 80.8.