Каково значение выражения A = cos(π/2 + arcsin(1/√5)?

Алгебра 11 класс Тригонометрические функции алгебра 11 класс значение выражения cos arcsin π/2 математические функции Тригонометрия Новый

Чтобы найти значение выражения A = cos(π/2 + arcsin(1/√5), давайте разберем его по шагам.

Шаг 1: Понимание arcsin(1/√5)

• Функция arcsin(x) возвращает угол, синус которого равен x.
• В нашем случае, arcsin(1/√5) означает, что мы ищем угол θ, для которого sin(θ) = 1/√5.
• Это значение θ находится в диапазоне от -π/2 до π/2.

Шаг 2: Использование тригонометрических тождеств

• Теперь мы можем использовать формулу для косинуса суммы углов: cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B).
• В нашем случае A = π/2 и B = arcsin(1/√5).

Шаг 3: Находим значения косинуса и синуса

• cos(π/2) = 0 и sin(π/2) = 1.
• Теперь нам нужно найти cos(arcsin(1/√5)).

Шаг 4: Вычисление cos(arcsin(1/√5))

• Мы знаем, что sin(θ) = 1/√5, и можем использовать основное тригонометрическое тождество: sin²(θ) + cos²(θ) = 1.
• Подставляем sin(θ): (1/√5)² + cos²(θ) = 1.
• Это дает: 1/5 + cos²(θ) = 1.
• Отсюда cos²(θ) = 1 - 1/5 = 4/5.
• Следовательно, cos(θ) = √(4/5) = 2/√5.

Шаг 5: Подставляем значения в формулу

• Теперь можем подставить все найденные значения в формулу: A = cos(π/2 + arcsin(1/√5)) = cos(π/2)cos(arcsin(1/√5)) - sin(π/2)sin(arcsin(1/√5)).
• Подставляем: A = 0 * (2/√5) - 1 * (1/√5).
• Это упрощается до: A = 0 - 1/√5 = -1/√5.

Ответ: Значение выражения A = -1/√5.