Чтобы найти значение выражения sin^2(75) - 1, давайте разберем его шаг за шагом.

1. Вспомним тригонометрическую идентичность: Мы знаем, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Это основная тригонометрическая идентичность.
2. Перепишем выражение: Мы можем переписать sin^2(75) - 1, используя эту идентичность:
• sin^2(75) - 1 = sin^2(75) - (sin^2(75) + cos^2(75)) = -cos^2(75).
3. Теперь найдем значение cos(75): Мы можем воспользоваться формулой косинуса суммы углов:
• cos(75) = cos(45 + 30) = cos(45)cos(30) - sin(45)sin(30).
• Значения косинусов и синусов для этих углов известны:
• cos(45) = sqrt(2)/2, cos(30) = sqrt(3)/2, sin(45) = sqrt(2)/2, sin(30) = 1/2.
• Подставим значения:
• cos(75) = (sqrt(2)/2) * (sqrt(3)/2) - (sqrt(2)/2) * (1/2) = (sqrt(6)/4) - (sqrt(2)/4) = (sqrt(6) - sqrt(2))/4.
4. Теперь найдем cos^2(75):
• cos^2(75) = ((sqrt(6) - sqrt(2))/4)^2 = (6 - 2 - 2*sqrt(12))/16 = (4 - 2*sqrt(12))/16 = (1 - sqrt(12)/2)/4.
• Упрощая, получаем cos^2(75) = (1 - sqrt(3))/4.
5. Теперь подставим это значение в выражение:
• sin^2(75) - 1 = -cos^2(75) = -((1 - sqrt(3))/4) = (sqrt(3) - 1)/4.

Таким образом, значение выражения sin^2(75) - 1 равно (sqrt(3) - 1)/4.