Каковы целочисленные корни многочлена h(x)=6x³-x²-5x+2? Используя метод деления «уголком», запишите частное при делении многочлена на двучлен (x – х1) в каноническом виде. Какие остальные корни многочлена и как его можно разложить на множители?

Алгебра 11 класс Разложение многочленов на множители целочисленные корни многочлена метод деления уголком частное при делении многочлена каноническое представление многочлена разложение на множители многочлен h(x) корни многочлена алгебра 11 класс Новый

Для нахождения целочисленных корней многочлена h(x) = 6x³ - x² - 5x + 2 мы можем воспользоваться теорией рациональных корней. Сначала найдем возможные целочисленные корни, используя теорему о рациональных корнях. Согласно этой теореме, возможные рациональные корни многочлена имеют вид ±p/q, где p - делители свободного члена, а q - делители ведущего коэффициента.

В нашем случае:

• Свободный член (p) = 2. Его делители: ±1, ±2.
• Ведущий коэффициент (q) = 6. Его делители: ±1, ±2, ±3, ±6.

Таким образом, возможные целочисленные корни: ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±1/6.

Теперь подставим эти значения в многочлен h(x) и проверим, какие из них являются корнями:

1. h(1) = 6(1)³ - (1)² - 5(1) + 2 = 6 - 1 - 5 + 2 = 2 (не корень)
2. h(-1) = 6(-1)³ - (-1)² - 5(-1) + 2 = -6 - 1 + 5 + 2 = 0 (корень)
3. h(2) = 6(2)³ - (2)² - 5(2) + 2 = 48 - 4 - 10 + 2 = 36 (не корень)
4. h(-2) = 6(-2)³ - (-2)² - 5(-2) + 2 = -48 - 4 + 10 + 2 = -40 (не корень)
5. h(1/2) = 6(1/2)³ - (1/2)² - 5(1/2) + 2 = 6(1/8) - (1/4) - (5/2) + 2 = 0 (корень)

Таким образом, мы нашли два целочисленных корня: x1 = -1 и x2 = 1/2.

Теперь применим метод деления углом для деления многочлена h(x) на (x + 1) (так как x1 = -1). Начнем деление:

1. Записываем многочлен: 6x³ - x² - 5x + 2.
2. Делим первый член (6x³) на первый член делителя (x): получаем 6x².
3. Умножаем 6x² на (x + 1) и вычитаем:
   • 6x³ + 6x²
   • (-x² - 6x²) = -7x².
4. Теперь спускаем -5x: -7x² - 5x.
5. Делим -7x² на x: получаем -7x.
6. Умножаем -7x на (x + 1) и вычитаем:
   • -7x² - 7x
   • (-5x + 7x) = 2x.
7. Спускаем 2: 2x + 2.
8. Делим 2x на x: получаем 2.
9. Умножаем 2 на (x + 1) и вычитаем:
   • 2x + 2
   • (2 - 2) = 0.

Таким образом, мы получили частное:

h(x) = (x + 1)(6x² - 7x + 2).

Теперь найдем корни квадратного уравнения 6x² - 7x + 2. Используем дискриминант:

D = b² - 4ac = (-7)² - 4 * 6 * 2 = 49 - 48 = 1.

Корни квадратного уравнения:

• x1 = (7 + √1) / (2 * 6) = 8 / 12 = 2/3.
• x2 = (7 - √1) / (2 * 6) = 6 / 12 = 1/2.

Итак, мы нашли все корни многочлена:

• x1 = -1 (целочисленный корень),
• x2 = 2/3 (рациональный корень),
• x3 = 1/2 (рациональный корень).

Теперь можем записать многочлен в канонической форме:

h(x) = (x + 1)(6x² - 7x + 2) = (x + 1)(6(x - 2/3)(x - 1/2)).

Таким образом, многочлен h(x) можно разложить на множители как:

h(x) = 6(x + 1)(x - 2/3)(x - 1/2).