Каковы интервалы, на которых функция f(x) = x + 4/x возрастает и убывает?

Алгебра 11 класс Анализ функций интервалы функции функция возрастает функция убывает f(x) = x + 4/x анализ функции алгебра 11 класс Новый

Чтобы определить интервалы, на которых функция f(x) = x + 4/x возрастает и убывает, нам необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найдем производную функции f(x).

Производная функции f(x) = x + 4/x будет вычисляться по правилам дифференцирования:

• Производная x равна 1.
• Производная 4/x равна -4/x^2 (по правилу производной дроби).

Таким образом, производная f'(x) будет:

f'(x) = 1 - 4/x^2.

2. Найдем критические точки.

Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не определена:

1 - 4/x^2 = 0.

Решим это уравнение:

• 4/x^2 = 1;
• 4 = x^2;
• x = ±2.

Также обратим внимание, что функция f(x) не определена при x = 0, так как в этом случае происходит деление на ноль.

3. Определим интервалы.

Теперь у нас есть критические точки x = -2, x = 0 и x = 2. Эти точки делят числовую прямую на следующие интервалы:

• (-∞, -2);
• (-2, 0);
• (0, 2);
• (2, +∞).
4. Исследуем знак производной на каждом интервале.

Для этого подберем тестовые точки из каждого интервала:

• Для интервала (-∞, -2), например, x = -3:

f'(-3) = 1 - 4/(-3)^2 = 1 - 4/9 = 5/9 > 0. Значит, функция возрастает.

• Для интервала (-2, 0), например, x = -1:

f'(-1) = 1 - 4/(-1)^2 = 1 - 4 = -3 < 0. Значит, функция убывает.

• Для интервала (0, 2), например, x = 1:

f'(1) = 1 - 4/1^2 = 1 - 4 = -3 < 0. Значит, функция убывает.

• Для интервала (2, +∞), например, x = 3:

f'(3) = 1 - 4/3^2 = 1 - 4/9 = 5/9 > 0. Значит, функция возрастает.

5. Сделаем выводы.

На основании проведенного анализа мы можем сделать следующие выводы:

• Функция f(x) возрастает на интервалах: (-∞, -2) и (2, +∞).
• Функция f(x) убывает на интервалах: (-2, 0) и (0, 2).

Таким образом, мы определили интервалы, на которых функция возрастает и убывает. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!