Чтобы найти область определения функции Y = √(4x² + 7x - 2) / (x² - 4),необходимо учитывать два условия: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен равняться нулю.

Подкоренное выражение 4x² + 7x - 2 должно быть больше или равно нулю:

1. Решим неравенство 4x² + 7x - 2 ≥ 0.
2. Сначала найдем корни уравнения 4x² + 7x - 2 = 0. Для этого используем дискриминант:

Дискриминант D = b² - 4ac = 7² - 4 * 4 * (-2) = 49 + 32 = 81.

Корни уравнения находятся по формуле:

x1 = (-b + √D) / (2a) и x2 = (-b - √D) / (2a).

Подставляем значения:

• x1 = (-7 + 9) / 8 = 2/8 = 1/4;
• x2 = (-7 - 9) / 8 = -16/8 = -2.

Теперь у нас есть корни x1 = 1/4 и x2 = -2. Чтобы определить знаки выражения 4x² + 7x - 2, исследуем промежутки:

• Для x < -2, например, x = -3: 4*(-3)² + 7*(-3) - 2 = 36 - 21 - 2 = 13 (положительное);
• Для -2 < x < 1/4, например, x = 0: 4*0² + 7*0 - 2 = -2 (отрицательное);
• Для x > 1/4, например, x = 1: 4*1² + 7*1 - 2 = 4 + 7 - 2 = 9 (положительное).

Таким образом, 4x² + 7x - 2 ≥ 0 на интервалах (-∞, -2] и [1/4, +∞).

Знаменатель x² - 4 не должен равняться нулю:

1. Решим уравнение x² - 4 = 0, получаем x = ±2.
2. Таким образом, x не может принимать значения 2 и -2.

Теперь мы должны объединить условия:

• Из подкоренного выражения: x ∈ (-∞, -2] ∪ [1/4, +∞);
• Из знаменателя: x ≠ 2 и x ≠ -2.

Итак, окончательная область определения функции Y:

x ∈ (-∞, -2) ∪ (-2, 2) ∪ [1/4, +∞).