Анализ функций включает в себя несколько ключевых шагов, которые помогают понять поведение функции и построить её график. Рассмотрим эти шаги на примере двух функций: f(x) = 2x²/(1+x²) и f(x) = x/(1-x²).

1. Нахождение области определения функции:
   • Для функции f(x) = 2x²/(1+x²): знаменатель 1+x² не равен нулю для всех x, так как x² всегда неотрицательно, а значит, область определения — все действительные числа.
   • Для функции f(x) = x/(1-x²): знаменатель 1-x² равен нулю, когда x² = 1, то есть x = ±1. Следовательно, область определения: все действительные числа, кроме x = ±1.
2. Определение четности функции:
   • Функция четная, если f(-x) = f(x),и нечетная, если f(-x) = -f(x).
   • Для f(x) = 2x²/(1+x²): подставим -x, получим f(-x) = 2(-x)²/(1+(-x)²) = 2x²/(1+x²) = f(x). Функция четная.
   • Для f(x) = x/(1-x²): подставим -x, получим f(-x) = -x/(1-(-x)²) = -x/(1-x²) = -f(x). Функция нечетная.
3. Определение периодичности функции:
   • Обе функции не являются периодическими, так как не существует такого периода T, при котором f(x+T) = f(x) для всех x из области определения.
4. Нахождение точек пересечения с осями координат:
   • Для пересечения с осью x, нужно решить уравнение f(x) = 0.
   • Для f(x) = 2x²/(1+x²): 2x² = 0, следовательно, x = 0. Точка пересечения: (0,0).
   • Для f(x) = x/(1-x²): x = 0, следовательно, точка пересечения: (0,0).
   • Для пересечения с осью y, подставляем x = 0.
   • Обе функции пересекают ось y в точке (0,0).
5. Промежутки знакопостоянства:
   • Для f(x) = 2x²/(1+x²): функция всегда положительна, так как числитель и знаменатель положительны для всех x ≠ 0.
   • Для f(x) = x/(1-x²): функция положительна при x/(1-x²) > 0, отрицательна при x/(1-x²) < 0. Анализируем знаки в интервалах (-∞, -1),(-1, 0),(0, 1),(1, ∞).
6. Промежутки возрастания и убывания:
   • Находим производную функции и исследуем её знак.
   • Для f(x) = 2x²/(1+x²): f'(x) = (4x/(1+x²)²),функция возрастает на (0, ∞) и убывает на (-∞, 0).
   • Для f(x) = x/(1-x²): f'(x) = (1+x²)/(1-x²)², исследуем знаки производной на интервалах.
7. Нахождение экстремумов:
   • Экстремумы находятся в точках, где производная равна нулю или не определена, и на границах области определения.
   • Для f(x) = 2x²/(1+x²): f'(x) = 0 при x = 0, это минимум.
   • Для f(x) = x/(1-x²): исследуем критические точки и поведение функции на интервалах.
8. Асимптоты:
   • Для f(x) = 2x²/(1+x²): нет вертикальных асимптот, так как знаменатель не обращается в ноль; горизонтальная асимптота y = 2 при x → ±∞.
   • Для f(x) = x/(1-x²): вертикальные асимптоты x = ±1; нет горизонтальных асимптот.
9. Построение графиков:
   • Используя полученные данные, строим графики функций, отмечая ключевые точки, асимптоты и поведение на промежутках.
10. Определение множества значений функции:
    • Для f(x) = 2x²/(1+x²): функция принимает значения от 0 до 2, включая границы.
    • Для f(x) = x/(1-x²): множество значений — все действительные числа, так как функция может принимать любые значения при изменении x.

Каждый из этих шагов помогает получить полное представление о функции и её графике.