Чтобы определить промежутки, на которых функция f(x) = 2x^3 + x^2 - 12x - 1 увеличивается или уменьшается, нам нужно сначала найти производную этой функции. Производная поможет нам понять, где функция возрастает или убывает.

1. Находим производную функции f(x):

• f'(x) = d/dx (2x^3) + d/dx (x^2) - d/dx (12x) - d/dx (1)
• f'(x) = 6x^2 + 2x - 12

2. Находим критические точки:

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. В нашем случае мы решим уравнение:

3. Решаем квадратное уравнение:

• Сначала упростим уравнение, разделив все его части на 2:
• 3x^2 + x - 6 = 0

Теперь мы можем использовать дискриминант для нахождения корней:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac, где a = 3, b = 1, c = -6.
• D = 1^2 - 4 * 3 * (-6) = 1 + 72 = 73.

4. Находим корни уравнения:

• x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-1 + sqrt(73)) / (6)
• x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-1 - sqrt(73)) / (6)

5. Определяем интервалы:

Теперь у нас есть две критические точки. Мы будем исследовать знаки производной на интервалах, которые они определяют:

• (-∞, x1)
• (x1, x2)
• (x2, +∞)

6. Тестируем интервалы:

• Выберем тестовые точки в каждом интервале и подставим их в f'(x):
• Например, для интервала (-∞, x1) можно взять точку x = -10.
• Для интервала (x1, x2) можно взять точку x = 0.
• Для интервала (x2, +∞) можно взять точку x = 10.

7. Смотрим на знаки производной:

• f'(-10) > 0 (функция возрастает)
• f'(0) < 0 (функция убывает)
• f'(10) > 0 (функция возрастает)

8. Выводим результаты:

Таким образом, функция f(x):

• Увеличивается на интервалах: (-∞, x1) и (x2, +∞)
• Уменьшается на интервале: (x1, x2)

Это и есть промежутки, на которых функция увеличивается или уменьшается.