Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции f(x) = 4 - 2x² + 7x⁴, а также точки экстремумы, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найдем производную функции f(x).

   Производная функции f(x) будет равна:

   f'(x) = d/dx(4 - 2x² + 7x⁴) = -4x + 28x³.

2. Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек.

   Решим уравнение:

   -4x + 28x³ = 0.

   Вынесем общий множитель:

   -4x(1 - 7x²) = 0.

   • Первый множитель: -4x = 0, отсюда x = 0.
   • Второй множитель: 1 - 7x² = 0, отсюда 7x² = 1, значит x² = 1/7, и x = ±√(1/7) = ±1/√7.

   Таким образом, у нас есть три критические точки: x = 0, x = 1/√7 и x = -1/√7.

3. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками.

   Критические точки делят числовую прямую на следующие интервалы:

   • (-∞, -1/√7)
   • (-1/√7, 0)
   • (0, 1/√7)
   • (1/√7, +∞)

   Теперь выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в f'(x) для определения знака производной:

   • Для x = -1: f'(-1) = -4(-1) + 28(-1)³ = 4 - 28 = -24 (отрицательный).
   • Для x = -0.5: f'(-0.5) = -4(-0.5) + 28(-0.5)³ = 2 - 3.5 = -1.5 (отрицательный).
   • Для x = 0.5: f'(0.5) = -4(0.5) + 28(0.5)³ = -2 + 3.5 = 1.5 (положительный).
   • Для x = 1: f'(1) = -4(1) + 28(1)³ = -4 + 28 = 24 (положительный).

   Итак, мы получаем:

   • На интервале (-∞, -1/√7) функция убывает.
   • На интервале (-1/√7, 0) функция убывает.
   • На интервале (0, 1/√7) функция возрастает.
   • На интервале (1/√7, +∞) функция возрастает.
4. Определим точки экстремума.

   На основе анализа знаков производной мы видим, что:

   • В точке x = -1/√7 функция имеет максимум (поскольку функция убывает слева и убывает справа).
   • В точке x = 1/√7 функция имеет минимум (поскольку функция возрастает слева и возрастает справа).

Таким образом, мы можем подвести итоги:

• Промежутки возрастания: (0, 1/√7) и (1/√7, +∞).
• Промежутки убывания: (-∞, -1/√7) и (-1/√7, 0).
• Точка максимума: x = -1/√7.
• Точка минимума: x = 1/√7.