Чтобы проанализировать свойства функции y = (x - 49)² e^(x - 47) на отрезке [2, 48], нам нужно рассмотреть несколько аспектов: область определения, поведение функции на отрезке, а также ее экстремумы и знаки.

Функция y = (x - 49)² e^(x - 47) является произведением двух функций: квадратного выражения (x - 49)² и экспоненциальной функции e^(x - 47). Оба выражения определены для всех x. Таким образом, область определения функции на отрезке [2, 48] полная.

Для анализа поведения функции удобно рассмотреть ее производную. Найдем производную функции y по x:

1. Применяем правило произведения: y' = u'v + uv', где u = (x - 49)² и v = e^(x - 47).
2. Находим производные u' и v':
   • u' = 2(x - 49),
   • v' = e^(x - 47).
3. Теперь подставляем в формулу: y' = 2(x - 49)e^(x - 47) + (x - 49)²e^(x - 47).
4. Факторизуем: y' = e^(x - 47) [(x - 49)(x - 49 + 2)] = e^(x - 47)(x - 49)(x - 47).

Функция y' = 0, если e^(x - 47) = 0 (что невозможно), или если (x - 49)(x - 47) = 0. Таким образом, критические точки находятся при:

• x = 49,
• x = 47.

Теперь исследуем знак производной на отрезке [2, 48]:

• На интервале (2, 47): y' < 0 (функция убывает).
• На интервале (47, 49): y' > 0 (функция возрастает).
• На интервале (49, 48): y' < 0 (функция убывает).

Таким образом, у нас есть минимум в точке x = 47 и максимум в точке x = 49.

Теперь найдем значения функции на концах отрезка:

• y(2) = (2 - 49)² e^(2 - 47) = 2209 e^(-45),
• y(48) = (48 - 49)² e^(48 - 47) = 1 e^(1) = e.

Теперь мы можем сделать выводы:

• Функция убывает на интервале [2, 47], достигая минимума в x = 47.
• Функция возрастает на интервале [47, 49] и убывает на интервале [49, 48].
• Значение функции на концах отрезка: y(2) < y(48).

Таким образом, функция имеет минимум в точке x = 47 и максимум в точке x = 49 на отрезке [2, 48].