Для решения неравенства 4^(x + √(x² - 2)) - 5·2^(x + √(x² - 2) - 1) ≥ 6, начнем с упрощения выражений. Обратите внимание, что 4 можно выразить через 2:

• 4 = 2², следовательно, 4^(x + √(x² - 2)) = (2²)^(x + √(x² - 2)) = 2^(2(x + √(x² - 2))) = 2^(2x + 2√(x² - 2)).
• Также, 5·2^(x + √(x² - 2) - 1) = 5/2 · 2^(x + √(x² - 2)).

Теперь подставим эти преобразования в неравенство:

2^(2x + 2√(x² - 2)) - 5/2 · 2^(x + √(x² - 2)) ≥ 6.

Далее, сделаем замену:

• Пусть y = 2^(x + √(x² - 2)).

Тогда неравенство можно переписать как:

2y² - (5/2)y ≥ 6.

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

4y² - 5y ≥ 12.

Теперь перенесем все в одну сторону:

4y² - 5y - 12 ≥ 0.

Решим квадратное неравенство 4y² - 5y - 12 = 0 с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac = (-5)² - 4·4·(-12) = 25 + 192 = 217.

Теперь найдем корни уравнения:

• y₁ = (5 + √217) / (2·4) = (5 + √217) / 8,
• y₂ = (5 - √217) / (2·4) = (5 - √217) / 8.

Теперь определим знаки функции 4y² - 5y - 12. Мы знаем, что парабола открыта вверх (коэффициент при y² положительный). Поэтому она будет принимать положительные значения вне интервала (y₂, y₁) и отрицательные внутри этого интервала.

Таким образом, неравенство 4y² - 5y - 12 ≥ 0 выполняется при:

• y ≤ (5 - √217) / 8,
• y ≥ (5 + √217) / 8.

Теперь вернемся к нашей замене y = 2^(x + √(x² - 2)). Мы знаем, что 2^(x + √(x² - 2)) всегда положительно, поэтому нам нужно решить два неравенства:

• 2^(x + √(x² - 2)) ≤ (5 - √217) / 8.
• 2^(x + √(x² - 2)) ≥ (5 + √217) / 8.

Рассмотрим первое неравенство. Поскольку (5 - √217) / 8 < 0, то это неравенство не имеет решений, так как 2^(x + √(x² - 2)) всегда положительно.

Теперь рассмотрим второе неравенство:

2^(x + √(x² - 2)) ≥ (5 + √217) / 8.

Применим логарифм:

x + √(x² - 2) ≥ log2((5 + √217) / 8).

Теперь выразим x:

√(x² - 2) ≥ log2((5 + √217) / 8) - x.

Квадратируем обе стороны:

x² - 2 ≥ (log2((5 + √217) / 8) - x)².

Теперь решаем это уравнение, что может быть довольно сложным. Однако, мы можем найти численное значение log2((5 + √217) / 8) и подставить его в уравнение.

Таким образом, окончательные решения неравенства будут зависеть от найденного значения и дальнейших вычислений. Важно помнить, что конечный ответ будет в виде интервала для x, который удовлетворяет неравенству.