Каковы все значения b, при каждом из которых уравнение ||4-x^2|-b+7|=2 имеет ровно 5 корней? Если таких значений b больше одного, то какое из них наибольшее?

Алгебра 11 класс Уравнения с модулями значения b уравнение 4-x^2 ровно 5 корней наибольшее значение b алгебра 11 класс Новый

Чтобы решить уравнение ||4-x^2|-b+7|=2 и найти все значения b, при каждом из которых уравнение имеет ровно 5 корней, начнем с анализа внутренней структуры данного уравнения.

Рассмотрим внутреннюю часть: |4-x^2|. Это выражение принимает неотрицательные значения, так как это модуль. Значения x^2 могут варьироваться от 0 до 4, так как при x=2 и x=-2, значение 4-x^2=0. Таким образом, |4-x^2|=0 при x=±2 и |4-x^2|=4 при x=0 и x=±2.

Теперь рассмотрим выражение ||4-x^2|-b+7|. Поскольку |4-x^2| может принимать значения от 0 до 4, мы можем записать:

• При x^2 < 4: |4-x^2| = 4 - x^2 (значения от 0 до 4).
• При x^2 = 4: |4-x^2| = 0 (при x = ±2).

Теперь подставим это в уравнение:

||4-x^2|-b+7| = 2.

Это уравнение можно решить, разбив его на два случая:

1. 4-x^2 - b + 7 = 2
2. 4-x^2 - b + 7 = -2

Решим первый случай:

1. 4 - x^2 - b + 7 = 2
2. 11 - x^2 - b = 2
3. -x^2 - b = -9
4. x^2 + b = 9
5. x^2 = 9 - b.

Решим второй случай:

1. 4 - x^2 - b + 7 = -2
2. 11 - x^2 - b = -2
3. -x^2 - b = -13
4. x^2 + b = 13
5. x^2 = 13 - b.

Теперь у нас есть два выражения для x^2:

• x^2 = 9 - b
• x^2 = 13 - b

Для того чтобы уравнение имело ровно 5 корней, необходимо, чтобы одно из этих уравнений имело 4 корня, а другое - 1 корень. Это возможно, если одно из значений b приводит к тому, что одно из уравнений имеет два одинаковых корня (дублирующийся корень), а другое — четыре различных корня.

Рассмотрим, когда x^2 = 9 - b имеет два одинаковых корня:

• 9 - b = 0 → b = 9.

Теперь подставим b = 9 в уравнение x^2 = 13 - b:

• x^2 = 13 - 9 = 4 → x = ±2 (два различных корня).

Теперь рассмотрим, когда x^2 = 13 - b имеет два одинаковых корня:

• 13 - b = 0 → b = 13.

Теперь подставим b = 13 в уравнение x^2 = 9 - b:

• x^2 = 9 - 13 = -4 (нет корней).

Таким образом, у нас есть два значения b, которые дают 5 корней:

• b = 9 (4 корня от x^2 = 4 и 1 корень от x^2 = 0).
• b = 13 (нет корней от x^2 = -4 и 1 корень от x^2 = 0).

Из всех найденных значений b наибольшее — это 9.

Ответ: наибольшее значение b, при котором уравнение имеет ровно 5 корней, равно 9.