Каковы все значения х, при которых выполняется неравенство f(x)≤0, если f(x)= 12x – x в кубе?

Алгебра 11 класс Неравенства неравенство f(x)≤0 значения х алгебра 11 класс f(x)=12x-x^3 решение неравенств кубическое неравенство Новый

Чтобы решить неравенство f(x) ≤ 0, начнем с того, что нам нужно определить, когда функция f(x) = 12x - x^3 принимает неотрицательные значения.

1. **Найдём корни уравнения f(x) = 0:**

• Для этого приравняем f(x) к нулю:
• 12x - x^3 = 0.
• Вынесем x за скобки:
• x(12 - x^2) = 0.

Это уравнение равно нулю, когда:

• x = 0,
• 12 - x^2 = 0.

2. **Решим второе уравнение:**

• 12 - x^2 = 0
• => x^2 = 12
• => x = ±√12 = ±2√3.

Таким образом, корни уравнения f(x) = 0:

• x = 0,
• x = 2√3,
• x = -2√3.

3. **Теперь определим знак функции f(x) на промежутках, заданных корнями:**

• Корни разбивают ось x на следующие интервалы:
• (-∞, -2√3),
• (-2√3, 0),
• (0, 2√3),
• (2√3, +∞).

4. **Проверим знак функции на каждом из этих интервалов:**

• Для интервала (-∞, -2√3): выберем, например, x = -4.
• f(-4) = 12(-4) - (-4)^3 = -48 + 64 = 16 (f(x) > 0).
• Для интервала (-2√3, 0): выберем, например, x = -1.
• f(-1) = 12(-1) - (-1)^3 = -12 + 1 = -11 (f(x) < 0).
• Для интервала (0, 2√3): выберем, например, x = 1.
• f(1) = 12(1) - (1)^3 = 12 - 1 = 11 (f(x) > 0).
• Для интервала (2√3, +∞): выберем, например, x = 5.
• f(5) = 12(5) - (5)^3 = 60 - 125 = -65 (f(x) < 0).

5. **Теперь можем подвести итоги:**

• На интервале (-∞, -2√3) функция положительна.
• На интервале (-2√3, 0) функция отрицательна.
• На интервале (0, 2√3) функция положительна.
• На интервале (2√3, +∞) функция отрицательна.

6. **Теперь определим, где f(x) ≤ 0:**

Это происходит на интервалах:

• [-2√3, 0] и [2√3, +∞).

Таким образом, все значения x, при которых выполняется неравенство f(x) ≤ 0:

x ∈ [-2√3, 0] ∪ [2√3, +∞)