Чтобы определить значения параметра a, при которых область определения функции у = √(x-5) + √(ax+9) будет иметь различные характеристики, нужно рассмотреть условия, при которых подкоренные выражения неотрицательны.

Область определения функции определяется условиями:

• x - 5 ≥ 0 (1)
• ax + 9 ≥ 0 (2)

Теперь разберем каждое из условий:

1. Область определения - числовой луч:

Для того чтобы область определения была числовым лучом, необходимо, чтобы одно из условий было выполнено для всех x. Например:

• Условие (1): x - 5 ≥ 0, что означает x ≥ 5.
• Условие (2): ax + 9 ≥ 0, это неравенство будет выполняться для всех x, если a = 0 и 9 ≥ 0, т.е. a = 0.

Таким образом, a должно быть равно 0.

2. Область определения - числовой отрезок:

Чтобы область определения была числовым отрезком, оба условия должны быть выполнены одновременно для ограниченного интервала x. Например:

• Условие (1): x ≥ 5.
• Условие (2): ax + 9 ≥ 0, что можно переписать как x ≥ -9/a (при a > 0).

Для числового отрезка необходимо, чтобы -9/a < 5. Это дает нам условия:

• a > 0
• -9/a < 5, что приводит к a > -9/5.

Таким образом, область определения будет числовым отрезком, если a > 0 и a < -9/5.

3. Область определения - множество всех действительных чисел:

Чтобы область определения была множеством всех действительных чисел, оба условия должны выполняться для всех x. Это возможно, если:

• Условие (1): x - 5 ≥ 0, что всегда выполняется.
• Условие (2): ax + 9 ≥ 0, что возможно, если a < 0, тогда при x < -9/a это неравенство может не выполняться.

Таким образом, a должно быть равно 0.

4. Область определения - единственное число:

Для того чтобы область определения была единственным числом, оба условия должны быть выполнены при одном значении x. Например:

• Условие (1): x = 5.
• Условие (2): 5a + 9 = 0, что дает a = -9/5.

Таким образом, область определения будет единственным числом, если a = -9/5.

5. Область определения - пустое множество:

Чтобы область определения была пустым множеством, необходимо, чтобы оба условия не выполнялись одновременно. Например:

• Условие (1): x - 5 < 0, что означает x < 5.
• Условие (2): ax + 9 < 0, что возможно, если a > 0 и x < -9/a.

Таким образом, область определения будет пустым множеством, если a > 0 и -9/a < 5.

Подводя итог:

• 1) a = 0 - числовой луч;
• 2) 0 < a < -9/5 - числовой отрезок;
• 3) a < 0 - множество всех действительных чисел;
• 4) a = -9/5 - единственное число;
• 5) a > 0 - пустое множество.