Каковы значения a и b в функции f(x)=a*sin2x+b*cosx, если известно, что f '(pi/6)=2 и f '(9*pi/2)=-4?

Алгебра 11 класс Производные и их применение значения a и b функция f(x) производная f'(x) алгебра 11 класс решение уравнений тригонометрические функции Новый

Чтобы найти значения a и b в функции f(x) = a*sin(2x) + b*cos(x), нам сначала нужно найти производную этой функции. Давайте начнем с вычисления производной f'(x).

Функция f(x) состоит из двух частей: a*sin(2x) и b*cos(x). Мы будем использовать правила дифференцирования для нахождения производной.

• Производная a*sin(2x): Используем правило цепочки. Производная sin(2x) равна 2*cos(2x), следовательно, производная a*sin(2x) будет равна 2a*cos(2x).
• Производная b*cos(x): Производная cos(x) равна -sin(x), поэтому производная b*cos(x) будет равна -b*sin(x).

Теперь можем записать полное выражение для производной:

f'(x) = 2a*cos(2x) - b*sin(x)

Теперь нам нужно использовать данные условия: f'(π/6) = 2 и f'(9π/2) = -4.

Сначала подставим x = π/6 в производную:

f'(π/6) = 2a*cos(2*(π/6)) - b*sin(π/6)

Упростим это выражение:

• 2*(π/6) = π/3, и cos(π/3) = 1/2.
• sin(π/6) = 1/2.

Подставим значения:

f'(π/6) = 2a*(1/2) - b*(1/2) = a - (b/2)

У нас есть уравнение:

a - (b/2) = 2 (1)

Теперь подставим x = 9π/2 в производную:

f'(9π/2) = 2a*cos(2*(9π/2)) - b*sin(9π/2)

Упростим это выражение:

• 2*(9π/2) = 9π, и cos(9π) = -1.
• sin(9π/2) = 1 (так как 9π/2 - 4π = π/2, а sin(π/2) = 1).

Подставим значения:

f'(9π/2) = 2a*(-1) - b*1 = -2a - b

У нас есть еще одно уравнение:

-2a - b = -4 (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. a - (b/2) = 2 (1)
2. -2a - b = -4 (2)

Решим эту систему. Из уравнения (1) выразим b:

b = 2a - 4

Теперь подставим это значение b в уравнение (2):

-2a - (2a - 4) = -4

Упростим это:

-2a - 2a + 4 = -4

-4a + 4 = -4

-4a = -8

a = 2

Теперь подставим a обратно в выражение для b:

b = 2*(2) - 4 = 4 - 4 = 0

Таким образом, мы нашли значения:

a = 2

b = 0

Ответ: a = 2, b = 0.