Чтобы найти интервал убывания функции f(x) = -x^3 - 6x^2 + 5, нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции. Производная функции показывает, как изменяется функция: положительное значение производной указывает на возрастание, а отрицательное - на убывание. Мы находим производную f(x):
• f'(x) = -3x^2 - 12x.
2. Найти критические точки. Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не определена. Для нашей функции:
• -3x^2 - 12x = 0.
• Выносим общий множитель: -3x(x + 4) = 0.
• Таким образом, критические точки: x = 0 и x = -4.
3. Построить интервалы. Теперь мы имеем две критические точки, которые делят числовую прямую на три интервала:
• (-∞, -4)
• (-4, 0)
• (0, +∞)
4. Определить знак производной на каждом интервале. Мы подставим тестовые значения из каждого интервала в производную:
• Для интервала (-∞, -4): пусть x = -5. Подставляем: f'(-5) = -3(-5)^2 - 12(-5) = -75 + 60 = -15 (отрицательное).
• Для интервала (-4, 0): пусть x = -2. Подставляем: f'(-2) = -3(-2)^2 - 12(-2) = -12 + 24 = 12 (положительное).
• Для интервала (0, +∞): пусть x = 1. Подставляем: f'(1) = -3(1)^2 - 12(1) = -3 - 12 = -15 (отрицательное).
5. Сделать вывод. Мы видим, что:
• На интервале (-∞, -4) производная отрицательна, значит функция убывает.
• На интервале (-4, 0) производная положительна, значит функция возрастает.
• На интервале (0, +∞) производная снова отрицательна, значит функция убывает.

Таким образом, функция f(x) = -x^3 - 6x^2 + 5 убывает на интервалах:

• (-∞, -4)
• (0, +∞)