Чтобы решить уравнение 5^x - 24 = 25 / 5^x, начнем с того, что упростим правую часть уравнения. Мы можем переписать 25 как 5^2, что даст нам:

5^x - 24 = 5^2 / 5^x

Теперь, используя свойства степеней, можем переписать правую часть уравнения:

5^2 / 5^x = 5^(2-x)

Теперь у нас есть новое уравнение:

5^x - 24 = 5^(2-x)

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны уравнения на 5^x (при этом 5^x не равен нулю, так как 5 в любой степени положительно):

5^(2x) - 24 * 5^x = 5^2

Теперь подставим y = 5^x. Таким образом, у нас получится квадратное уравнение:

y^2 - 24y - 25 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 * 1 * (-25)

Посчитаем дискриминант:

• D = 576 + 100 = 676

Теперь находим корни уравнения, используя формулу корней квадратного уравнения:

y1,2 = (-b ± sqrt(D)) / (2a)

Подставляем значения:

• y1 = (24 + sqrt(676)) / 2 = (24 + 26) / 2 = 50 / 2 = 25
• y2 = (24 - sqrt(676)) / 2 = (24 - 26) / 2 = -2 / 2 = -1

Теперь у нас есть два значения для y: y1 = 25 и y2 = -1. Поскольку y = 5^x, значение y не может быть отрицательным. Таким образом, мы оставляем только положительный корень:

5^x = 25

Теперь решим это уравнение:

5^x = 5^2

Это означает, что:

x = 2

Таким образом, уравнение 5^x - 24 = 25 / 5^x имеет единственный корень:

x = 2