Для того чтобы найти первый член геометрической прогрессии, давайте сначала вспомним формулу для суммы первых n членов геометрической прогрессии. Она выглядит следующим образом:

S_n = a * (1 - q^n) / (1 - q)

где:

• S_n — сумма первых n членов прогрессии;
• a — первый член;
• q — знаменатель прогрессии;
• n — количество членов, которые мы суммируем.

В нашем случае:

• S_8 = 85/64 (сумма первых 8 членов);
• q = -1/2 (знаменатель);
• n = 8 (количество членов).

Теперь подставим известные значения в формулу:

85/64 = a * (1 - (-1/2)^8) / (1 - (-1/2))

Сначала вычислим (-1/2)^8:

• (-1/2)^8 = 1/256 (так как четная степень делает число положительным).

Теперь подставим это значение в формулу:

85/64 = a * (1 - 1/256) / (1 + 1/2)

Теперь упростим выражение:

1 - 1/256 = 256/256 - 1/256 = 255/256

1 + 1/2 = 3/2

Теперь подставим эти значения в уравнение:

85/64 = a * (255/256) / (3/2)

Чтобы упростить правую часть, умножим на обратное значение знаменателя:

85/64 = a * (255/256) * (2/3)

Теперь упростим это выражение:

85/64 = a * (255 * 2) / (256 * 3)

85/64 = a * (510 / 768)

Теперь выразим a:

a = (85/64) * (768/510)

Упрощаем дробь:

• Сначала упростим 768 и 510. Находим их наибольший общий делитель (НОД), который равен 6.
• 768 ÷ 6 = 128
• 510 ÷ 6 = 85

Таким образом:

a = (85/64) * (128/85)

Теперь 85 сокращается:

a = 128/64 = 2

Итак, первый член геометрической прогрессии равен 2.