Мне нужно подробное решение логарифмического неравенства С3: log0,3 log6 (x^2+x)/(x+4) < 0. Какой ответ на это неравенство?

Алгебра 11 класс Логарифмические неравенства логарифмическое неравенство решение неравенства алгебра 11 класс логарифмы неравенства математическое решение x^2+x логарифм C3 учебник алгебры Новый

Чтобы решить логарифмическое неравенство log_0.3 (log₆ ((x² + x)/(x + 4))) < 0, давайте разберем его по шагам.

Шаг 1: Понимание логарифмической функции.

• Логарифм log_a(b) меньше нуля, когда b находится в интервале (0, 1), если основание a меньше 1.
• В нашем случае основание 0.3 меньше 1, следовательно, log_0.3(y) < 0 тогда и только тогда, когда y > 1.

Шаг 2: Применим это к нашему неравенству.

• Таким образом, мы можем переписать наше неравенство как: log₆((x² + x)/(x + 4)) > 1.

Шаг 3: Преобразуем неравенство с логарифмом.

• Неравенство log₆(A) > 1 эквивалентно A > 6.
• Заменим A на ((x² + x)/(x + 4)): ((x² + x)/(x + 4)) > 6.

Шаг 4: Умножим обе части неравенства на (x + 4) (при условии, что x + 4 > 0, т.е. x > -4):

• Получаем: x² + x > 6(x + 4).
• Раскроем скобки: x² + x > 6x + 24.
• Переносим все в одну сторону: x² + x - 6x - 24 > 0.
• Упрощаем: x² - 5x - 24 > 0.

Шаг 5: Найдем корни квадратного уравнения x² - 5x - 24 = 0 с помощью дискриминанта.

• Дискриминант: D = b² - 4ac = (-5)² - 4 * 1 * (-24) = 25 + 96 = 121.
• Корни: x_1,2 = (5 ± √121) / 2 = (5 ± 11) / 2.
• Корни: x₁ = 8, x₂ = -3.

Шаг 6: Определим знаки выражения (x - 8)(x + 3).

• Рассмотрим интервалы: (-∞, -3), (-3, 8), (8, +∞).
• В этих интервалах проверим знак произведения:
• Для x < -3: оба множителя отрицательные, знак положительный.
• Для -3 < x < 8: первый множитель отрицательный, второй положительный, знак отрицательный.
• Для x > 8: оба множителя положительные, знак положительный.

Шаг 7: Итоговое решение неравенства (x - 8)(x + 3) > 0.

• Решение: x < -3 или x > 8.

Шаг 8: Учитываем условие x + 4 > 0, что дает x > -4.

• Таким образом, окончательное решение: x > 8.

Ответ: x > 8.