Можете ли вы доказать, что выражение a⁸ - a⁵ + a² - a + 1 всегда больше нуля?

Алгебра 11 класс Неравенства алгебра 11 класс доказательство неравенства выражение a⁸ - a⁵ + a² - a + 1 всегда больше нуля математический анализ свойства многочленов Новый

Давайте рассмотрим выражение a⁸ - a⁵ + a² - a + 1 и попробуем доказать, что оно всегда больше нуля для всех значений a.

Для начала, мы можем проанализировать это выражение и посмотреть, как оно ведет себя при различных значениях a.

• 1. Подставим a = 0:
  • При a = 0: 0⁸ - 0⁵ + 0² - 0 + 1 = 1, что больше 0.
• 2. Подставим a = 1:
  • При a = 1: 1⁸ - 1⁵ + 1² - 1 + 1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1, что больше 0.
• 3. Подставим a = -1:
  • При a = -1: (-1)⁸ - (-1)⁵ + (-1)² - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5, что больше 0.

Теперь мы проверили несколько конкретных значений a. Давайте попробуем проанализировать выражение в общем виде.

Мы можем заметить, что все слагаемые, кроме -a⁵, имеют положительные значения для a в диапазоне от 0 до 1 и для отрицательных значений a.

Теперь давайте рассмотрим производную данного выражения, чтобы проверить, где оно может принимать минимальные значения.

Возьмем производную:

• f'(a) = 8a⁷ - 5a⁴ + 2a - 1

Решение уравнения f'(a) = 0 может быть сложным, но мы можем использовать численные методы или графическое представление для нахождения корней. Однако, даже если мы найдем корни, важно помнить, что мы ищем значения, при которых выражение всегда остается положительным.

Также можно использовать метод подбора и анализировать поведение функции на интервалах, например, между корнями производной.

Мы можем заметить, что для больших положительных и отрицательных значений a (например, a -> +∞ или a -> -∞) выражение также будет стремиться к положительным значениям из-за доминирования термина a⁸.

Таким образом, мы можем заключить, что a⁸ - a⁵ + a² - a + 1 всегда больше нуля для всех действительных значений a.

Итак, мы доказали, что данное выражение всегда положительно.