Можете, пожалуйста, решить неравенства методом интервалов?

1. (x^2 + 1)(x + 6)(x - 5) меньше или равно 0
2. x^2 - 3x / (x - 4) больше 0

Спасибо!

Алгебра 11 класс Неравенства неравенства методом интервалов алгебра 11 класс решение неравенств алгебраические неравенства метод интервалов x^2 + 1 x + 6 x - 5 x^2 - 3x x - 4 Новый

Конечно! Давайте решим оба неравенства методом интервалов.

Первое неравенство: (x^2 + 1)(x + 6)(x - 5) ≤ 0

1. Найдем нули каждого множителя:

• x^2 + 1 = 0 не имеет действительных корней, так как x^2 + 1 всегда больше 0.
• x + 6 = 0 → x = -6
• x - 5 = 0 → x = 5

2. Теперь у нас есть два критических значения: x = -6 и x = 5. Эти точки разделяют числовую прямую на три интервала:

• (-∞, -6)
• (-6, 5)
• (5, +∞)

3. Проверим знак произведения на каждом интервале:

• Для интервала (-∞, -6): выберем x = -7.
  • (-7^2 + 1) > 0, (-7 + 6) < 0, (-7 - 5) < 0 → знак произведения: + * - * - = +
• Для интервала (-6, 5): выберем x = 0.
  • (0^2 + 1) > 0, (0 + 6) > 0, (0 - 5) < 0 → знак произведения: + * + * - = -
• Для интервала (5, +∞): выберем x = 6.
  • (6^2 + 1) > 0, (6 + 6) > 0, (6 - 5) > 0 → знак произведения: + * + * + = +

4. Теперь составим ответ:

• Знак произведения ≤ 0 на интервале (-6, 5) и в точках x = -6, x = 5.

Ответ: x ∈ [-6, 5].

Второе неравенство: (x^2 - 3x) / (x - 4) > 0

1. Найдем нули числителя и знаменателя:

• x^2 - 3x = 0 → x(x - 3) = 0 → x = 0 и x = 3
• x - 4 = 0 → x = 4

2. У нас есть три критических значения: x = 0, x = 3 и x = 4. Эти точки разделяют числовую прямую на четыре интервала:

• (-∞, 0)
• (0, 3)
• (3, 4)
• (4, +∞)

3. Проверим знак дроби на каждом интервале:

• Для интервала (-∞, 0): выберем x = -1.
  • (-1^2 - 3*(-1)) > 0, (-1 - 4) < 0 → знак: + / - = -
• Для интервала (0, 3): выберем x = 1.
  • ((1^2 - 3*1) < 0, (1 - 4) < 0 → знак: - / - = +
• Для интервала (3, 4): выберем x = 3.5.
  • ((3.5^2 - 3*3.5) > 0, (3.5 - 4) < 0 → знак: + / - = -
• Для интервала (4, +∞): выберем x = 5.
  • ((5^2 - 3*5) > 0, (5 - 4) > 0 → знак: + / + = +

4. Теперь составим ответ:

• Знак дроби > 0 на интервалах (0, 3) и (4, +∞).

Ответ: x ∈ (0, 3) ∪ (4, +∞).

Таким образом, мы решили оба неравенства. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!