Для нахождения наименьшего положительного периода функции, нам необходимо определить период каждой из данных тригонометрических функций. Период функции можно определить по формуле:

Период функции y = sin(kx) или y = cos(kx) равен T = 2π/k.

Теперь давайте разберем каждую функцию по отдельности:

1. y = 2sin(2x)
   • Здесь k = 2.
   • Период T = 2π/2 = π.
2. y = sin(4x)cos(x) + sin(x)cos(4x
   • Используем формулу произведения синуса и косинуса: sin(a)cos(b) = 1/2[sin(a+b) + sin(a-b).
   • Периоды: T1 = 2π/4 = π/2 (для sin(4x)) и T2 = 2π/1 = 2π (для cos(x)).
   • Наименьший общий период T = 2π (так как π/2 является делителем 2π).
3. y = (2/3)sin(3x) + 1
   • Здесь k = 3.
   • Период T = 2π/3.
4. y = sin(x)cos(x)
   • Используем формулу: sin(x)cos(x) = 1/2[sin(2x).
   • Период T = 2π/2 = π.
5. y = sin(4x)cos(3x)
   • Периоды: T1 = 2π/4 = π/2 (для sin(4x)) и T2 = 2π/3 (для cos(3x)).
   • Наименьший общий период T = 2π (наименьшее общее кратное π/2 и 2π).
6. y = sin(3x)cos(3x)
   • Используем формулу: sin(3x)cos(3x) = 1/2[sin(6x).
   • Период T = 2π/6 = π/3.

Теперь мы можем подвести итог и найти наименьший положительный период для всех функций:

• 1. y = 2sin(2x) - период π.
• 2. y = sin(4x)cos(x) + sin(x)cos(4x - период 2π.
• 3. y = (2/3)sin(3x) + 1 - период 2π/3.
• 4. y = sin(x)cos(x) - период π.
• 5. y = sin(4x)cos(3x) - период 2π.
• 6. y = sin(3x)cos(3x) - период π/3.

Наименьший положительный период среди всех найденных периодов:

• π/3.

Таким образом, наименьший положительный период для всех данных функций равен π/3.