Для решения данной задачи, начнем с каждого из неравенств по отдельности.

1. Решим первое неравенство: x² - x - 6 ≤ 0

Сначала найдем корни уравнения x² - x - 6 = 0. Для этого используем формулу корней квадратного уравнения:

• Дискриминант D = b² - 4ac = (-1)² - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25.
• Корни уравнения: x₁ = (1 + √25) / 2 = 3, x₂ = (1 - √25) / 2 = -2.

Теперь мы знаем, что корни равны -2 и 3. Это делит числовую ось на три интервала: (-∞, -2), [-2, 3] и (3, +∞).

Теперь определим знак выражения x² - x - 6 на каждом из этих интервалов:

• На интервале (-∞, -2): выбираем, например, x = -3. Подставляем: (-3)² - (-3) - 6 = 9 + 3 - 6 = 6 > 0.
• На интервале [-2, 3]: выбираем, например, x = 0. Подставляем: 0² - 0 - 6 = -6 ≤ 0.
• На интервале (3, +∞): выбираем, например, x = 4. Подставляем: 4² - 4 - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 > 0.

Таким образом, неравенство x² - x - 6 ≤ 0 выполняется на интервале [-2, 3].

2. Решим второе неравенство: x² - 4x - 5 > 0

Сначала найдем корни уравнения x² - 4x - 5 = 0:

• Дискриминант D = (-4)² - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.
• Корни уравнения: x₁ = (4 + √36) / 2 = 7, x₂ = (4 - √36) / 2 = -1.

Корни -1 и 7 делят числовую ось на три интервала: (-∞, -1), [-1, 7] и (7, +∞).

Теперь определим знак выражения x² - 4x - 5 на каждом из этих интервалов:

• На интервале (-∞, -1): выбираем, например, x = -2. Подставляем: (-2)² - 4 * (-2) - 5 = 4 + 8 - 5 = 7 > 0.
• На интервале [-1, 7]: выбираем, например, x = 0. Подставляем: 0² - 4 * 0 - 5 = -5 < 0.
• На интервале (7, +∞): выбираем, например, x = 8. Подставляем: 8² - 4 * 8 - 5 = 64 - 32 - 5 = 27 > 0.

Таким образом, неравенство x² - 4x - 5 > 0 выполняется на интервалах (-∞, -1) и (7, +∞).

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств в промежутке [-10; 7]

Первое неравенство дает интервал [-2, 3], а второе неравенство дает (-∞, -1) и (7, +∞). Теперь найдем пересечение:

• Пересечение [-2, 3] и (-∞, -1) дает интервал [-2, -1).
• Пересечение [-2, 3] и (7, +∞) пусто, так как 7 не входит в интервал [-2, 3].

Таким образом, целые решения совокупности неравенств находятся в интервале [-2, -1).

Целые числа в этом интервале: -2.

4. Найдем сумму всех целых решений

Сумма целых решений: -2.

Ответ: сумма всех целых решений равна -2.