Решим уравнение 2sin(31°+x) · sin(59° - x) = cos 5π.

Сначала определим значение cos 5π. Так как 5π — это нечетное кратное π, то:

• cos(5π) = -1.

Теперь перепишем уравнение:

2sin(31°+x) · sin(59° - x) = -1.

Разделим обе стороны уравнения на 2:

sin(31°+x) · sin(59° - x) = -1/2.

Теперь рассмотрим выражение sin(31° + x) · sin(59° - x). Сначала мы можем воспользоваться формулой произведения синусов:

sin A · sin B = 1/2 [cos(A - B) - cos(A + B).

В нашем случае A = 31° + x и B = 59° - x. Подставим эти значения в формулу:

sin(31° + x) · sin(59° - x) = 1/2 [cos((31° + x) - (59° - x)) - cos((31° + x) + (59° - x))].

Посчитаем разности и суммы:

• (31° + x) - (59° - x) = 31° + x - 59° + x = 2x - 28°;
• (31° + x) + (59° - x) = 31° + x + 59° - x = 90°.

Теперь подставим это в формулу:

sin(31° + x) · sin(59° - x) = 1/2 [cos(2x - 28°) - cos(90°)].

Так как cos(90°) = 0, то у нас остается:

sin(31° + x) · sin(59° - x) = 1/2 cos(2x - 28°).

Теперь у нас есть уравнение:

1/2 cos(2x - 28°) = -1/2.

Умножим обе стороны на 2:

cos(2x - 28°) = -1.

Значение cos равно -1 в точках (2k + 1)π, где k — целое число. Для простоты возьмем k = 0:

2x - 28° = π.

Теперь решим это уравнение:

2x = π + 28°.

Переведем π в градусы:

π ≈ 180°.

2x = 180° + 28° = 208°.

Теперь делим обе стороны на 2:

x = 104°.

Так как мы ищем наименьший положительный корень, то проверим, есть ли другие возможные решения. Поскольку cos(2x - 28°) = -1 также может принимать значения при k = 1:

2x - 28° = 3π.

2x = 3π + 28° ≈ 540° + 28° = 568°.

x = 284°.

Наименьший положительный корень из всех найденных — это 104°. Таким образом, ответ: