Для решения уравнения 2sin(270° + 3x) + 1 = 0, начнем с его упрощения.

1. Переносим 1 на правую сторону уравнения:
2sin(270° + 3x) = -1
2. Делим обе стороны уравнения на 2:
sin(270° + 3x) = -1/2
3. Теперь найдем, при каких углах синус равен -1/2. Это происходит в 4-й и 3-й четвертях:
• Угол 210° (в 3-й четверти)
• Угол 330° (в 4-й четверти)
4. Запишем общее решение для синуса:
270° + 3x = 210° + 360°k и 270° + 3x = 330° + 360°k, где k - целое число.

Теперь решим каждое из этих уравнений для x.

1. Для первого уравнения:
270° + 3x = 210° + 360°k
• 3x = 210° - 270° + 360°k
• 3x = -60° + 360°k
• x = -20° + 120°k
2. Для второго уравнения:
270° + 3x = 330° + 360°k
• 3x = 330° - 270° + 360°k
• 3x = 60° + 360°k
• x = 20° + 120°k

Теперь найдем значения x для k = 0 и k = -1, чтобы попасть в интервал [-30°, 120°].

1. Для x = -20° + 120°k:
• k = 0: x = -20° (входит в интервал)
• k = -1: x = -20° - 120° = -140° (не входит в интервал)
2. Для x = 20° + 120°k:
• k = 0: x = 20° (входит в интервал)
• k = -1: x = 20° - 120° = -100° (не входит в интервал)

Таким образом, корни уравнения на заданном интервале: -20° и 20°.

Теперь найдем сумму корней:

Ответ: сумма корней уравнения на промежутке [-30°; 120°] равна 0°.