Не могли бы вы помочь решить интеграл x * arcctg(x) dx?

Алгебра 11 класс Интегралы интеграл x * arcctg(x) dx решение интеграла алгебра 11 класс методы интегрирования интегралы с аркк Tangent Новый

Конечно! Решим интеграл x * arcctg(x) dx. Для этого воспользуемся методом интегрирования по частям.

Формула интегрирования по частям выглядит следующим образом:

∫ u dv = u*v - ∫ v du

Где:

• u — это функция, которую мы выбираем для дифференцирования;
• dv — это функция, которую мы выбираем для интегрирования.

В нашем случае мы можем выбрать:

• u = arcctg(x) (это функция, которую мы будем дифференцировать);
• dv = x dx (это функция, которую мы будем интегрировать).

Теперь найдем производную u и интеграл dv:

• du = -1 / (1 + x^2) dx (производная функции arcctg(x));
• v = (1/2) * x^2 (интеграл функции x dx).

Теперь подставим найденные значения в формулу интегрирования по частям:

∫ x * arcctg(x) dx = (arcctg(x) * (1/2) * x^2) - ∫ (1/2) * x^2 * (-1 / (1 + x^2)) dx

Упростим выражение:

∫ x * arcctg(x) dx = (1/2) * x^2 * arcctg(x) + (1/2) * ∫ (x^2 / (1 + x^2)) dx

Теперь нам нужно решить интеграл ∫ (x^2 / (1 + x^2)) dx. Упростим его:

∫ (x^2 / (1 + x^2)) dx = ∫ (1 - 1 / (1 + x^2)) dx

Теперь разделим интеграл на два:

∫ (1 - 1 / (1 + x^2)) dx = ∫ 1 dx - ∫ (1 / (1 + x^2)) dx

Теперь решим каждый из интегралов:

• ∫ 1 dx = x;
• ∫ (1 / (1 + x^2)) dx = arcctg(x).

Таким образом, мы получаем:

∫ (x^2 / (1 + x^2)) dx = x - arcctg(x) + C

Теперь вернемся к нашему выражению:

∫ x * arcctg(x) dx = (1/2) * x^2 * arcctg(x) + (1/2) * (x - arcctg(x)) + C

В итоге, окончательный ответ будет:

∫ x * arcctg(x) dx = (1/2) * x^2 * arcctg(x) + (1/2) * x - (1/2) * arcctg(x) + C

Где C — произвольная константа интегрирования.