Помогите определить производную функции f(x) = 6x/√(x² + 1) в точке, где x равно √3.

Алгебра 11 класс Производные и дифференцирование функций производная функции алгебра 11 класс f(x) = 6x/√(x² + 1) вычисление производной точка x = √3 Новый

Для того чтобы найти производную функции f(x) = 6x/√(x² + 1) в точке x = √3, мы будем использовать правило деления и правило производной сложной функции.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x). Применим правило деления, которое гласит, что если у нас есть функция вида u/v, то ее производная равна (u'v - uv')/v², где u и v - функции, а u' и v' - их производные.

В нашем случае:

• u = 6x, тогда u' = 6;
• v = √(x² + 1), тогда для нахождения v' используем правило производной сложной функции. Сначала найдем производную внутренней функции x² + 1:
• (x² + 1)' = 2x.
• Теперь применим правило производной корня: (√g)' = (1/(2√g)) * g', где g = x² + 1. Таким образом, v' = (1/(2√(x² + 1))) * (2x) = x/√(x² + 1).

Шаг 2: Теперь подставим u, u', v и v' в формулу производной:

f'(x) = (u'v - uv')/v² = (6 * √(x² + 1) - 6x * (x/√(x² + 1))) / (x² + 1).

Шаг 3: Упростим выражение:

• f'(x) = (6√(x² + 1) - 6x²/√(x² + 1)) / (x² + 1);
• f'(x) = (6(√(x² + 1) - x²/√(x² + 1))) / (x² + 1);
• f'(x) = (6(√(x² + 1)² - x²) / (√(x² + 1)(x² + 1))) = (6(1)) / (√(x² + 1)(x² + 1)) = 6 / (√(x² + 1)(x² + 1)).

Шаг 4: Теперь подставим x = √3 в производную:

• x² + 1 = (√3)² + 1 = 3 + 1 = 4;
• √(x² + 1) = √4 = 2.

Шаг 5: Подставим значения в производную:

f'(√3) = 6 / (2 * 4) = 6 / 8 = 3 / 4.

Ответ: Производная функции f(x) в точке x = √3 равна 3/4.