Помогите пожалуйста!!

Как можно определить целые корни уравнения x² - (1 + √3)x + 2(√3 - 1) = 0?

Алгебра 11 класс Корни квадратного уравнения целые корни уравнение алгебра x2 квадратное уравнение решение уравнения математический анализ корни уравнения дискриминант 11 класс Новый

Чтобы определить целые корни уравнения x² - (1 + √3)x + 2(√3 - 1) = 0, мы можем использовать несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Определим коэффициенты уравнения

У нас есть квадратное уравнение в стандартной форме ax² + bx + c = 0, где:

• a = 1
• b = -(1 + √3)
• c = 2(√3 - 1)

Шаг 2: Найдем дискриминант

Дискриминант D уравнения рассчитывается по формуле D = b² - 4ac. Подставим наши значения:

• b² = (-(1 + √3))² = (1 + √3)² = 1 + 2√3 + 3 = 4 + 2√3
• 4ac = 4 * 1 * 2(√3 - 1) = 8(√3 - 1) = 8√3 - 8

Теперь подставим в формулу для дискриминанта:

D = (4 + 2√3) - (8√3 - 8) = 4 + 2√3 - 8√3 + 8 = 12 - 6√3

Шаг 3: Проанализируем дискриминант

Чтобы у уравнения были целые корни, дискриминант должен быть не только неотрицательным, но и должен быть полным квадратом.

Рассмотрим D = 12 - 6√3. Поскольку √3 примерно равно 1.732, мы можем оценить D:

• 6√3 ≈ 10.392, значит, D ≈ 12 - 10.392 ≈ 1.608.

Так как D положительный, у уравнения есть два различных корня, но это не гарантирует, что они целые.

Шаг 4: Найдем корни уравнения

Корни уравнения можно найти по формуле:

x = (-b ± √D) / (2a).

Подставим наши значения:

• x = (1 + √3 ± √(12 - 6√3)) / 2.

Теперь нам нужно определить, является ли выражение под корнем (12 - 6√3) полным квадратом. Для этого мы можем оценить его значения и проверить, возможно ли его представить в виде k² для некоторого целого k.

Шаг 5: Проверка на целые корни

Если мы подставим разные целые значения x в исходное уравнение и проверим, равняется ли оно нулю, мы можем найти целые корни. Попробуем подставить x = 1, 2, 3 и так далее, пока не найдем целые корни или не убедимся, что их нет.

Заключение

В итоге, чтобы найти целые корни данного уравнения, мы можем использовать как дискриминант, так и подстановку целых чисел в уравнение. Если подстановка не даст целых корней, то у уравнения их нет.