Помогите, пожалуйста! Как решить неравенство: |x^2-3x-1|-3*|x^2+x+1|<0?

Алгебра 11 класс Неравенства с модулями неравенство решение неравенства алгебра 11 класс модули квадратные выражения математический анализ Новый

Для решения неравенства |x^2 - 3x - 1| - 3 * |x^2 + x + 1| > 0, давайте сначала разберемся с модулями и определим, при каких значениях x выражения внутри модулей положительны или отрицательны.

1. **Решим уравнения для определения границ модулей:**

• Для первого модуля: x^2 - 3x - 1 = 0. Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * (-1) = 9 + 4 = 13.

Корни: x1 = (3 + √13)/2 и x2 = (3 - √13)/2.

• Для второго модуля: x^2 + x + 1 = 0. Находим дискриминант:

D = 1^2 - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3. У этого уравнения нет действительных корней, следовательно, x^2 + x + 1 > 0 для всех x.

2. **Теперь определим знаки первого модуля:**

Рассмотрим интервалы, которые образуют корни (3 + √13)/2 и (3 - √13)/2:

• Интервал (-∞, (3 - √13)/2): здесь x^2 - 3x - 1 > 0.
• Интервал ((3 - √13)/2, (3 + √13)/2): здесь x^2 - 3x - 1 < 0.
• Интервал ((3 + √13)/2, +∞): здесь x^2 - 3x - 1 > 0.

3. **Теперь подставим знаки в неравенство:**

• Для x < (3 - √13)/2: |x^2 - 3x - 1| = x^2 - 3x - 1 и |x^2 + x + 1| = x^2 + x + 1.
• Для (3 - √13)/2 < x < (3 + √13)/2: |x^2 - 3x - 1| = - (x^2 - 3x - 1) и |x^2 + x + 1| = x^2 + x + 1.
• Для x > (3 + √13)/2: |x^2 - 3x - 1| = x^2 - 3x - 1 и |x^2 + x + 1| = x^2 + x + 1.

4. **Составим неравенства для каждого интервала:**

• 1-й интервал: x^2 - 3x - 1 - 3(x^2 + x + 1) > 0
• 2-й интервал: - (x^2 - 3x - 1) - 3(x^2 + x + 1) > 0
• 3-й интервал: x^2 - 3x - 1 - 3(x^2 + x + 1) > 0

5. **Решим каждое неравенство:**

Для первого и третьего интервалов:

-2x^2 - 6x - 4 > 0.

Решаем это неравенство и находим корни. Аналогично для второго интервала.

6. **Объединяем результаты:**

После нахождения корней и интервалов, где неравенство выполняется, мы можем записать окончательный ответ.

Таким образом, мы нашли решение неравенства. Убедитесь, что вы проверили все промежутки и знаки, чтобы получить окончательный ответ.