Помогите пожалуйста!!!

Как решить уравнение:

√(2x-1) = x - 2?

Алгебра 11 класс Уравнения с корнями уравнение алгебра решение уравнения квадратный корень 11 класс Новый

Давайте решим уравнение √(2x - 1) = x - 2 шаг за шагом.

Шаг 1: Определение области определения

Первое, что нужно сделать, это определить область определения уравнения. Поскольку у нас есть квадратный корень, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

• 2x - 1 ≥ 0

Решим это неравенство:

• 2x ≥ 1
• x ≥ 0.5

Также, так как x - 2 должно быть неотрицательным (поскольку квадратный корень всегда неотрицателен), мы имеем:

• x - 2 ≥ 0

Решим это неравенство:

• x ≥ 2

Таким образом, область определения: x ≥ 2.

Шаг 2: Избавляемся от квадратного корня

Теперь, когда мы знаем, что x ≥ 2, можем возвести обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

• (√(2x - 1))^2 = (x - 2)^2

Это приводит к:

• 2x - 1 = (x - 2)(x - 2)

Раскроем правую часть:

• 2x - 1 = x^2 - 4x + 4

Шаг 3: Приводим уравнение к стандартному виду

Переносим все члены в одну сторону уравнения:

• 0 = x^2 - 4x - 2x + 4 + 1

Упрощаем:

• 0 = x^2 - 6x + 5

Теперь у нас есть квадратное уравнение x^2 - 6x + 5 = 0.

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение

Мы можем решить это уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения:

• x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Где a = 1, b = -6, c = 5. Подставим значения:

• x = (6 ± √((-6)^2 - 4 * 1 * 5)) / (2 * 1)

Считаем дискриминант:

• D = 36 - 20 = 16

Теперь подставляем обратно:

• x = (6 ± √16) / 2

Это дает нам два возможных решения:

• x = (6 + 4) / 2 = 10 / 2 = 5
• x = (6 - 4) / 2 = 2 / 2 = 1

Шаг 5: Проверка решений

Теперь нам нужно проверить, какие из найденных решений подходят к нашей области определения (x ≥ 2):

• x = 5 подходит (5 ≥ 2).
• x = 1 не подходит (1 < 2).

Ответ

Таким образом, единственным решением уравнения является x = 5.