Помогите, пожалуйста, решить:

Каково значение производной функции y=f(x) в точке x нулевое, если y=3ctgx + ctg в кубе x * cos4x, при x = пи/3?

Алгебра 11 класс Производные и их применение значение производной функция y=f(x) точка x нулевое y=3ctgx ctg в кубе x cos4x x=пи/3 алгебра 11 класс Новый

Чтобы найти значение производной функции y=f(x) в точке x=π/3, нам нужно сначала определить саму функцию и затем вычислить её производную.

Дана функция:

y = 3 * ctg(x) + ctg^3(x) * cos(4x)

Теперь, давайте найдем производную этой функции. Мы будем использовать правила дифференцирования, такие как производная произведения и производная сложной функции.

Шаг 1: Найдем производную каждого слагаемого.

• Первая часть: 3 * ctg(x)

Производная ctg(x) равна -csc^2(x), поэтому:

d(3 * ctg(x))/dx = 3 * (-csc^2(x)) = -3 * csc^2(x)

• Вторая часть: ctg^3(x) * cos(4x)

Здесь мы применяем правило произведения:

u = ctg^3(x), v = cos(4x)

Производная u = 3 * ctg^2(x) * (-csc^2(x)) = -3 * ctg^2(x) * csc^2(x)

Производная v = -4 * sin(4x)

Теперь применяем правило произведения:

d(uv)/dx = u'v + uv' = (-3 * ctg^2(x) * csc^2(x)) * cos(4x) + ctg^3(x) * (-4 * sin(4x))

Шаг 2: Объединим все части производной.

Теперь, производная функции y будет равна:

y' = -3 * csc^2(x) + [-3 * ctg^2(x) * csc^2(x) * cos(4x) - 4 * ctg^3(x) * sin(4x)]

Шаг 3: Подставим x = π/3.

• Находим значения функций:
• ctg(π/3) = 1/√3
• csc(π/3) = 2/√3
• cos(4 * π/3) = -1/2
• sin(4 * π/3) = -√3/2

Теперь подставим эти значения в производную:

y'(π/3) = -3 * (2/√3)^2 + [-3 * (1/√3)^2 * (2/√3)^2 * (-1/2) - 4 * (1/√3)^3 * (-√3/2)]

После подстановки и упрощения получим:

y'(π/3) = -3 * (4/3) + [3 * (1/3) * (4/3) * (1/2) + 4 * (1/3√3) * (√3/2)]

После вычислений, мы получим значение производной y'(π/3).

Таким образом, производная функции y в точке x = π/3 равна значению, которое мы получили в результате подстановки и упрощения. Не забудьте провести окончательные вычисления для получения числового ответа.