1. Sin (x + P/5) >= 1/2

Сначала найдем углы, для которых синус равен 1/2. Это происходит при:

• x + P/5 = P/6 + 2kP, где k - целое число;
• x + P/5 = 5P/6 + 2kP, где k - целое число.

Теперь решим эти уравнения:

• x = P/6 - P/5 + 2kP = (5 - 6)/30 + 2kP = -P/30 + 2kP;
• x = 5P/6 - P/5 + 2kP = (25 - 6)/30 + 2kP = 19P/30 + 2kP.

Таким образом, неравенство выполняется для интервалов:

x ∈ [-P/30 + 2kP, 19P/30 + 2kP].

2. Cos(P/3 - x) >= -1/2

Косинус равен -1/2 в точках:

• P/3 - x = 2P/3 + 2kP;
• P/3 - x = 4P/3 + 2kP.

Решим эти уравнения:

• x = P/3 - 2P/3 - 2kP = -P/3 - 2kP;
• x = P/3 - 4P/3 - 2kP = -P + 2kP.

Неравенство выполняется для интервалов:

x ∈ [-P/3 - 2kP, -P + 2kP].

3. tg(x/2 - P/5) > 1

Тангенс больше 1, когда угол находится в интервале:

• x/2 - P/5 = P/4 + kP;

Решим это уравнение:

• x/2 = P/4 + P/5 + kP = (5 + 4)/20 + kP = 9/20 + kP;
• x = 9/10 + 2kP.

Неравенство выполняется для интервалов:

x ∈ (9/10 + 2kP, 9/10 + 2kP + P).

4. ctg 4x >= -1/корень из 3

Котангенс равен -1/корень из 3 при:

• 4x = 5P/6 + kP;
• 4x = 11P/6 + kP.

Решим эти уравнения:

• x = 5P/24 + kP/4;
• x = 11P/24 + kP/4.

Неравенство выполняется для интервалов:

x ∈ [-P/12 + kP/4, P/12 + kP/4].

5. cos 3x < 1

Косинус равен 1 при:

• 3x = 2kP;

Решим это уравнение:

• x = 2kP/3.

Неравенство выполняется для всех x, кроме:

x ≠ 2kP/3.

6. cos(3x + P/8) > -1

Косинус больше -1 для всех x, кроме:

x = -P/8 + 2kP/3.

7. sin(x/2 - P/7) < 1

Синус меньше 1 для всех x.

8. ctg(P + x) < 1/корень из 3

Котангенс меньше 1/корень из 3 при:

• P + x = P/6 + kP;

Решим это уравнение:

• x = -5P/6 + kP.

Неравенство выполняется для интервалов:

x ∈ (-5P/6 + kP, P/6 + kP).

9. tg(3P/2 - x) >= корень из 3

Тангенс равен корню из 3 при:

• 3P/2 - x = P/3 + kP;

Решим это уравнение:

• x = 3P/2 - P/3 - kP = (9 - 2)/6P - kP = 7/6P - kP.

Неравенство выполняется для интервалов:

x ∈ (7/6P - kP, 7/6P - kP + P).

10. cos^2(3x) - sin^2(3x) > 1/2

Используем формулу косинуса двойного угла:

cos(6x) > 1/2.

Это происходит при:

• 6x = P/3 + 2kP;
• 6x = 5P/3 + 2kP.

Решим эти уравнения:

• x = P/18 + kP/3;
• x = 5P/18 + kP/3.

Неравенство выполняется для интервалов:

x ∈ (P/18 + kP/3, 5P/18 + kP/3).

Таким образом, мы разобрали все неравенства и нашли их решения. Если у вас есть вопросы по конкретному шагу, пожалуйста, задавайте!