Помогите, пожалуйста, решить уравнение: 2sin^2x - 3sinxcosx + 3cos^2x = 1

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрические уравнение алгебра 11 класс решение уравнений тригонометрические функции синус косинус Новый

Для решения уравнения 2sin^2x - 3sinxcosx + 3cos^2x = 1, давайте начнем с упрощения и преобразования этого уравнения.

1. Перепишем уравнение:

2sin^2x - 3sinxcosx + 3cos^2x - 1 = 0

2. Обратим внимание, что мы можем использовать тригонометрические тождества. Напомним, что sin^2x + cos^2x = 1. Это позволит нам выразить одно из выражений через другое. В нашем случае, давайте выразим cos^2x:

cos^2x = 1 - sin^2x.

3. Подставим это в уравнение:

• 2sin^2x - 3sinxcosx + 3(1 - sin^2x) - 1 = 0

4. Упростим полученное уравнение:

• 2sin^2x - 3sinxcosx + 3 - 3sin^2x - 1 = 0
• (2sin^2x - 3sin^2x) - 3sinxcosx + 2 = 0
• -sin^2x - 3sinxcosx + 2 = 0

5. Умножим все уравнение на -1 для удобства:

sin^2x + 3sinxcosx - 2 = 0

6. Это уравнение является квадратным относительно sinx. Теперь, чтобы решить его, давайте обозначим sinx = t. Тогда уравнение примет вид:

t^2 + 3tcosx - 2 = 0

7. Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения:

t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 1, b = 3cosx, c = -2.

8. Подставим значения:

t = (-3cosx ± √((3cosx)^2 - 4*1*(-2))) / (2*1)

t = (-3cosx ± √(9cos^2x + 8)) / 2

9. Теперь у нас есть два возможных значения для sinx:

• sinx1 = (-3cosx + √(9cos^2x + 8)) / 2
• sinx2 = (-3cosx - √(9cos^2x + 8)) / 2

10. Теперь необходимо найти значения cosx, чтобы определить sinx. Для этого мы можем использовать тождество sin^2x + cos^2x = 1. После нахождения sinx, мы можем найти x, используя обратные тригонометрические функции.

11. Не забудьте проверить полученные значения на допустимость, так как значения sin и cos должны находиться в пределах от -1 до 1.

Таким образом, мы получили два выражения для sinx, и теперь можем продолжить решать уравнение, подставляя значения cosx и проверяя допустимость полученных решений.