Помогите, пожалуйста, решить уравнение: |2x-5| + |x| - 1 = 8?

Алгебра 11 класс Уравнения с модулями решение уравнения алгебра 11 класс модульные уравнения |2x-5| |x| математическая помощь уравнение с модулями Новый

Давайте решим уравнение |2x-5| + |x| - 1 = 8 шаг за шагом.

Сначала упростим уравнение:

1. Переносим -1 на правую сторону:

|2x-5| + |x| = 9

Теперь нам нужно рассмотреть два выражения с абсолютной величиной: |2x-5| и |x|. Поскольку абсолютные значения зависят от знаков выражений, давайте определим критические точки, где каждое из выражений меняет знак.

2. Находим критические точки:

• Для |2x-5|: 2x - 5 = 0 => 2x = 5 => x = 2.5
• Для |x|: x = 0

Таким образом, у нас есть три интервала, которые мы будем рассматривать:

• Интервал 1: x < 0
• Интервал 2: 0 ≤ x < 2.5
• Интервал 3: x ≥ 2.5

3. Решаем уравнение на каждом интервале:

Интервал 1: x < 0

В этом интервале |2x-5| = 5 - 2x и |x| = -x. Подставляем в уравнение:

(5 - 2x) - x = 9

5 - 3x = 9

-3x = 4 => x = -4/3

Проверяем: -4/3 < 0, значит, это решение допустимо.

Интервал 2: 0 ≤ x < 2.5

Здесь |2x-5| = 5 - 2x и |x| = x. Подставляем в уравнение:

(5 - 2x) + x = 9

5 - x = 9

-x = 4 => x = -4

Проверяем: -4 не принадлежит интервалу [0, 2.5], значит, это решение не допустимо.

Интервал 3: x ≥ 2.5

В этом интервале |2x-5| = 2x - 5 и |x| = x. Подставляем в уравнение:

(2x - 5) + x = 9

3x - 5 = 9

3x = 14 => x = 14/3

Проверяем: 14/3 ≈ 4.67, что больше 2.5, значит, это решение допустимо.

4. Итог:

Мы нашли два решения уравнения:

• x = -4/3
• x = 14/3

Таким образом, окончательный ответ: x = -4/3 и x = 14/3.