Помогите пожалуйста. Срочно нужно.

Если радиус шара увеличивается равномерно со скоростью 5 см/сек, какова скорость изменения площади поверхности шара и объёма шара в момент, когда радиус равен 50 см?

Алгебра 11 класс Производные и их применение алгебра 11 класс скорость изменения площади скорость изменения объёма радиус шара задача по алгебре Новый

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. У нас есть шар, радиус которого увеличивается со скоростью 5 см/сек. Нам нужно найти, какова скорость изменения площади поверхности и объёма шара, когда радиус равен 50 см.

Для начала, вспомним формулы для площади поверхности и объёма шара:

• Площадь поверхности S шара: S = 4 * π * r²
• Объём V шара: V = (4/3) * π * r³

Теперь, чтобы найти скорость изменения площади поверхности и объёма шара, будем использовать производные. Обозначим радиус шара как r. Мы знаем, что скорость изменения радиуса dr/dt = 5 см/сек.

1. Находим скорость изменения площади поверхности:

Для этого возьмём производную площади поверхности по времени:

1. Находим производную S по r: dS/dr = 8 * π * r.
2. Теперь используем правило цепочки, чтобы найти dS/dt: dS/dt = dS/dr * dr/dt.
3. Подставляем значения: dS/dt = 8 * π * r * (dr/dt).
4. Когда r = 50 см, подставим это значение: dS/dt = 8 * π * 50 * 5.
5. Теперь вычислим: dS/dt = 8 * π * 50 * 5 = 2000 * π см²/сек.

2. Находим скорость изменения объёма:

Теперь аналогично находим производную объёма по времени:

1. Находим производную V по r: dV/dr = 4 * π * r².
2. Используем правило цепочки: dV/dt = dV/dr * dr/dt.
3. Подставляем значения: dV/dt = 4 * π * r² * (dr/dt).
4. Когда r = 50 см, подставим это значение: dV/dt = 4 * π * (50)² * 5.
5. Теперь вычислим: dV/dt = 4 * π * 2500 * 5 = 50000 * π см³/сек.

Ответ:

• Скорость изменения площади поверхности шара, когда радиус равен 50 см: 2000 * π см²/сек.
• Скорость изменения объёма шара, когда радиус равен 50 см: 50000 * π см³/сек.

Таким образом, мы нашли необходимые скорости изменения площади поверхности и объёма шара.