Помогите, пожалуйста!

Упростите следующие выражения:

1. sin альфа / (1 + cos альфа) + sin альфа / (1 - cos альфа)
2. tg(п/2 + альфа) - ctg(2п - альфа)
3. cos 2альфа + 2sin^2(п - альфа)

Алгебра 11 класс Тригонометрические выражения алгебра 11 класс упрощение выражений тригонометрические функции sin альфа cos альфа tg альфа ctg альфа алгебраические выражения Новый

Давайте упростим каждое из заданных выражений по очереди.

1. Упрощение выражения: sin альфа / (1 + cos альфа) + sin альфа / (1 - cos альфа)

Сначала объединим дроби:

1. Найдем общий знаменатель. Общий знаменатель будет (1 + cos альфа)(1 - cos альфа).
2. Перепишем каждую дробь с этим общим знаменателем:
3. Первая дробь:
• sin альфа / (1 + cos альфа) = sin альфа * (1 - cos альфа) / ((1 + cos альфа)(1 - cos альфа))
4. Вторая дробь:
• sin альфа / (1 - cos альфа) = sin альфа * (1 + cos альфа) / ((1 - cos альфа)(1 + cos альфа))
5. Теперь сложим дроби:
• (sin альфа * (1 - cos альфа) + sin альфа * (1 + cos альфа)) / ((1 + cos альфа)(1 - cos альфа))
6. Упрощаем числитель:
• sin альфа * (1 - cos альфа + 1 + cos альфа) = sin альфа * (2) = 2sin альфа
7. Таким образом, получаем:
• 2sin альфа / ((1 + cos альфа)(1 - cos альфа))
8. Теперь заметим, что (1 + cos альфа)(1 - cos альфа) = 1 - cos^2 альфа = sin^2 альфа.
9. Следовательно, итоговое выражение:
• 2sin альфа / sin^2 альфа = 2 / sin альфа = 2cosec альфа.

2. Упрощение выражения: tg(п/2 + альфа) - ctg(2п - альфа)

Используем тригонометрические тождества:

1. tg(п/2 + альфа) = -cot(альфа), так как tg(п/2 + x) = -cot(x).
2. ctg(2п - альфа) = ctg(альфа), так как ctg(2п - x) = ctg(x).
3. Теперь подставим эти тождества в выражение:
• -cot(альфа) - cot(альфа) = -2cot(альфа).

3. Упрощение выражения: cos 2альфа + 2sin^2(п - альфа)

Используем тригонометрические тождества и свойства синуса:

1. cos 2альфа = cos^2 альфа - sin^2 альфа (или 2cos^2 альфа - 1, или 1 - 2sin^2 альфа).
2. sin^2(п - альфа) = sin^2 альфа, так как sin(п - x) = sin(x).
3. Таким образом, 2sin^2(п - альфа) = 2sin^2 альфа.
4. Теперь подставим это в выражение:
• cos 2альфа + 2sin^2 альфа = (cos^2 альфа - sin^2 альфа) + 2sin^2 альфа = cos^2 альфа + sin^2 альфа = 1.

Итак, итоговые результаты упрощений:

• 1. 2cosec альфа
• 2. -2cot альфа
• 3. 1