Для анализа функции f(x) = x^3 + 3x + 2, давайте выполним несколько шагов: найдем производную, определим критические точки, исследуем поведение функции на этих точках и построим график.

Производная функции f(x) позволяет нам понять, где функция возрастает и убывает. Вычислим производную:

• f'(x) = 3x^2 + 3

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Установим f'(x) = 0:

• 3x^2 + 3 = 0
• x^2 + 1 = 0

Это уравнение не имеет действительных корней, так как x^2 = -1 не имеет решений в области действительных чисел. Таким образом, критических точек нет.

Так как производная f'(x) = 3x^2 + 3 всегда положительна (так как 3x^2 >= 0 для всех x и 3 > 0), это означает, что функция f(x) возрастает на всей своей области определения.

Теперь давайте подберем несколько значений x и найдем соответствующие значения f(x):

• f(-3) = (-3)^3 + 3*(-3) + 2 = -27 - 9 + 2 = -34
• f(-2) = (-2)^3 + 3*(-2) + 2 = -8 - 6 + 2 = -12
• f(-1) = (-1)^3 + 3*(-1) + 2 = -1 - 3 + 2 = -2
• f(0) = 0^3 + 3*0 + 2 = 2
• f(1) = 1^3 + 3*1 + 2 = 1 + 3 + 2 = 6
• f(2) = 2^3 + 3*2 + 2 = 8 + 6 + 2 = 16

Собранные данные помогут нам построить график функции. На основе найденных значений можно отметить точки:

• (-3, -34)
• (-2, -12)
• (-1, -2)
• (0, 2)
• (1, 6)
• (2, 16)

График будет представлять собой непрерывную и возрастающую кривую, проходящую через указанные точки.

Функция f(x) = x^3 + 3x + 2 является возрастающей на всей области определения, не имеет критических точек и проходит через точки, которые мы вычислили. График функции будет иметь характерную форму кубической функции, открытой вверх.