Помогите решить неравенство: x^4 - x^2 - 12 > 0, при этом деля его на x + 2.

Алгебра 11 класс Неравенства неравенство алгебра 11 класс решение неравенства x^4 - x^2 - 12 > 0 деление на x + 2 математика задачи по алгебре Новый

Для решения неравенства x^4 - x^2 - 12 > 0 начнем с его упрощения. Мы можем сделать замену переменной, чтобы облегчить задачу. Обозначим y = x^2. Тогда неравенство примет вид:

y^2 - y - 12 > 0.

Теперь решим это квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

y^2 - y - 12 = 0.

Для нахождения корней воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a,

где a = 1, b = -1, c = -12. Подставим значения:

• b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 1 * (-12) = 1 + 48 = 49.
• Теперь находим корни:
• y = (1 ± √49) / 2 = (1 ± 7) / 2.

Таким образом, у нас два корня:

• y1 = (1 + 7) / 2 = 4,
• y2 = (1 - 7) / 2 = -3.

Теперь мы можем записать неравенство с учетом найденных корней:

(y - 4)(y + 3) > 0.

Теперь определим знаки произведения (y - 4)(y + 3). Для этого рассмотрим промежутки, которые задаются корнями:

• (-∞, -3),
• (-3, 4),
• (4, +∞).

Теперь проверим знак на каждом из этих промежутков:

• Для y < -3 (например, y = -4): (-4 - 4)(-4 + 3) = (-)(-) = + (положительный).
• Для -3 < y < 4 (например, y = 0): (0 - 4)(0 + 3) = (-)(+) = - (отрицательный).
• Для y > 4 (например, y = 5): (5 - 4)(5 + 3) = (+)(+) = + (положительный).

Таким образом, неравенство выполняется на промежутках:

• y < -3,
• y > 4.

Теперь вернемся к переменной x. Напомним, что y = x^2. Поскольку x^2 не может быть отрицательным, мы отбрасываем промежуток y < -3.

Остается только рассмотреть y > 4:

x^2 > 4.

Это неравенство можно решить следующим образом:

• x < -2,
• x > 2.

Таким образом, окончательный ответ:

x < -2 или x > 2.

Теперь, если мы делим на x + 2, нужно учитывать, что при x = -2 неравенство не определено. Поэтому необходимо дополнительно рассмотреть знак выражения при делении:

Для x > -2 (то есть в промежутке (-2, 2) и далее) знак неравенства не изменится, а для x < -2 он изменится.

Таким образом, окончательное решение неравенства с учетом деления на x + 2:

x < -2 или x > 2.