Помогите решить, пожалуйста, неравенство (x-5)(x+4)(x^2+6x+9) меньше либо равно нуля.

Алгебра 11 класс Неравенства неравенство алгебра 11 класс решение неравенств (x-5)(x+4)(x^2+6x+9) ≤ 0 математические задачи график функции корни неравенства

Для решения неравенства (x-5)(x+4)(x^2+6x+9) ≤ 0, давайте сначала найдем корни каждого множителя.

1. Первый множитель: x - 5 = 0, откуда x = 5.
2. Второй множитель: x + 4 = 0, откуда x = -4.
3. Третий множитель: x^2 + 6x + 9 = 0. Это квадратное уравнение можно упростить как (x + 3)^2 = 0, откуда x = -3 (двойной корень).

Теперь у нас есть корни: x = 5, x = -4 и x = -3. Эти корни разбивают числовую прямую на интервалы, в которых мы будем определять знак произведения (x-5)(x+4)(x^2+6x+9).

Корни делят числовую прямую на следующие интервалы:

• (-∞, -4)
• (-4, -3)
• (-3, 5)
• (5, +∞)

Теперь мы проверим знак произведения на каждом из этих интервалов, выбрав тестовые точки:

1. Интервал (-∞, -4): Пусть x = -5.
• (-5 - 5)(-5 + 4)(-5 + 3)^2 = (-10)(-1)(4) > 0.
2. Интервал (-4, -3): Пусть x = -3.5.
• (-3.5 - 5)(-3.5 + 4)(-3.5 + 3)^2 = (-8.5)(0.5)(-0.5)^2 < 0.
3. Интервал (-3, 5): Пусть x = 0.
• (0 - 5)(0 + 4)(0 + 3)^2 = (-5)(4)(9) < 0.
4. Интервал (5, +∞): Пусть x = 6.
• (6 - 5)(6 + 4)(6 + 3)^2 = (1)(10)(81) > 0.

Теперь подводим итоги:

• На интервале (-∞, -4) знак положительный.
• На интервале (-4, -3) знак отрицательный.
• На интервале (-3, 5) знак отрицательный.
• На интервале (5, +∞) знак положительный.

Теперь мы можем записать, где произведение меньше или равно нулю:

Произведение (x-5)(x+4)(x^2+6x+9) ≤ 0 на интервалах:

• [-4, -3] (включая -4 и -3, так как на этих точках произведение равно нулю)
• [-3, 5] (включая -3 и 5, так как на этих точках произведение также равно нулю)

Итак, окончательный ответ:

x ∈ [-4, 5]

Чтобы решить неравенство (x-5)(x+4)(x^2+6x+9) ≤ 0, давайте разберем его по шагам.

Шаг 1: Найдем корни каждого множителя.

• (x - 5) = 0 → x = 5
• (x + 4) = 0 → x = -4
• (x^2 + 6x + 9) = 0 → это квадратное уравнение можно переписать как (x + 3)^2 = 0, откуда x = -3 (двойной корень).

Таким образом, мы нашли следующие корни: x = 5, x = -4 и x = -3.

Шаг 2: Определим интервалы.

Теперь, зная корни, мы можем разбить числовую ось на интервалы:

• (-∞, -4)
• (-4, -3)
• (-3, 5)
• (5, +∞)

Шаг 3: Проверим знак произведения на каждом интервале.

Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в выражение (x-5)(x+4)(x^2+6x+9):

• Для интервала (-∞, -4), например, x = -5:
• (-5 - 5)(-5 + 4)((-5)^2 + 6*(-5) + 9) = (-10)(-1)(25 - 30 + 9) = (-10)(-1)(4) > 0
• Для интервала (-4, -3), например, x = -3.5:
• (-3.5 - 5)(-3.5 + 4)((-3.5)^2 + 6*(-3.5) + 9) = (-8.5)(-0.5)(12.25 - 21 + 9) = (-8.5)(-0.5)(0.25) > 0
• Для интервала (-3, 5), например, x = 0:
• (0 - 5)(0 + 4)(0^2 + 6*0 + 9) = (-5)(4)(9) < 0
• Для интервала (5, +∞), например, x = 6:
• (6 - 5)(6 + 4)(6^2 + 6*6 + 9) = (1)(10)(36 + 36 + 9) > 0

Шаг 4: Составим итог:

Теперь мы знаем, что:

• На интервале (-∞, -4) знак положительный.
• На интервале (-4, -3) знак положительный.
• На интервале (-3, 5) знак отрицательный.
• На интервале (5, +∞) знак положительный.

Теперь нам нужно учесть, что мы ищем значения, для которых произведение меньше или равно нулю. Это значит, что нас интересует интервал, где произведение отрицательно и где оно равно нулю (включая корни).

Шаг 5: Запишем ответ.

Неравенство (x-5)(x+4)(x^2+6x+9) ≤ 0 выполняется на интервале:

x ∈ [-4, -3] ∪ [-3, 5]

Таким образом, окончательный ответ:

x ∈ [-4, 5]