Помогите решить уравнения:

1. sin 7x - cos 13x = 0
2. sin x - sin 3x + sin 5x = 0
3. sin x - sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрические алгебра 11 класс решение уравнений тригонометрические уравнения синус косинус математические задачи алгебраические уравнения Новый

Давайте поочередно решим каждое из данных уравнений.

1. Уравнение: sin 7x - cos 13x = 0

Для решения этого уравнения мы можем воспользоваться основным тригонометрическим тождеством, которое связывает синус и косинус:

• sin A = cos(90° - A)

Таким образом, мы можем переписать уравнение:

• sin 7x = cos 13x
• sin 7x = sin(90° - 13x)

Теперь у нас есть два случая:

1. 7x = 90° - 13x + k * 360°, где k - целое число.
2. 7x = 180° - (90° - 13x) + k * 360°.

Решим первый случай:

• 7x + 13x = 90° + k * 360°
• 20x = 90° + k * 360°
• x = (90° + k * 360°) / 20

Теперь решим второй случай:

• 7x = 180° - 90° + 13x + k * 360°
• 7x = 90° + 13x + k * 360°
• 7x - 13x = 90° + k * 360°
• -6x = 90° + k * 360°
• x = -(90° + k * 360°) / 6

Таким образом, у нас есть два типа решений:

• x = (90° + k * 360°) / 20
• x = -(90° + k * 360°) / 6

2. Уравнение: sin x - sin 3x + sin 5x = 0

Для решения этого уравнения мы можем использовать формулу суммы синусов:

• sin A - sin B = 2 * cos((A + B) / 2) * sin((A - B) / 2)

Сначала объединим sin x и sin 5x:

• sin x + sin 5x = sin x - sin 3x + sin 5x = 0

Теперь применим формулу:

• sin x + sin 5x = 2 * sin(3x) * cos(2x) = 0

Теперь у нас есть два случая:

1. sin(3x) = 0
2. cos(2x) = 0

Решим первый случай:

• 3x = k * 180°, где k - целое число.
• x = k * 60°.

Решим второй случай:

• 2x = (2k + 1) * 90°, где k - целое число.
• x = (2k + 1) * 45°.

Таким образом, у нас есть решения:

• x = k * 60°
• x = (2k + 1) * 45°

3. Уравнение: sin x - sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0

Здесь мы можем снова использовать свойства синуса:

• sin A - sin B = 2 * cos((A + B) / 2) * sin((A - B) / 2)

Сначала сгруппируем:

• (sin x + sin 3x) + (sin 4x - sin 2x) = 0

Применим формулу к каждой группе:

• sin x + sin 3x = 2 * sin(2x) * cos(x)
• sin 4x - sin 2x = 2 * cos(3x) * sin(x)

Теперь у нас есть:

• 2 * sin(2x) * cos(x) + 2 * cos(3x) * sin(x) = 0

Упростим:

• sin(2x) * cos(x) + cos(3x) * sin(x) = 0

Теперь у нас есть два случая:

1. sin(2x) = 0
2. cos(3x) = 0

Решим первый случай:

• 2x = k * 180°, где k - целое число.
• x = k * 90°.

Решим второй случай:

• 3x = (2k + 1) * 90°, где k - целое число.
• x = (2k + 1) * 30°.

Таким образом, у нас есть решения:

• x = k * 90°
• x = (2k + 1) * 30°

Теперь у нас есть все решения для заданных уравнений!