Чтобы решить неравенство 6x² + x - 1 > 0, следуем следующим шагам:

1. Найдем корни соответствующего уравнения: Сначала решим уравнение 6x² + x - 1 = 0. Для этого используем формулу квадратного уравнения:
• Формула: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 6, b = 1, c = -1.
• Подставляем значения: b² - 4ac = 1² - 4 * 6 * (-1) = 1 + 24 = 25.
• Корни уравнения: x = (-1 ± √25) / (2 * 6) = (-1 ± 5) / 12.
2. Находим корни:
• Первый корень: x₁ = (4) / 12 = 1/3.
• Второй корень: x₂ = (-6) / 12 = -1/2.
3. Построим числовую прямую и определим интервалы: У нас есть два корня, -1/2 и 1/3. Эти корни делят числовую прямую на три интервала:
• (-∞, -1/2)
• (-1/2, 1/3)
• (1/3, +∞)
4. Проверим знак многочлена на каждом интервале:
• Для интервала (-∞, -1/2): выберем, например, x = -1. Подставим в неравенство: 6(-1)² + (-1) - 1 = 6 - 1 - 1 = 4 > 0. Значит, здесь знак положительный.
• Для интервала (-1/2, 1/3): выберем, например, x = 0. Подставим: 6(0)² + 0 - 1 = -1 < 0. Значит, здесь знак отрицательный.
• Для интервала (1/3, +∞): выберем, например, x = 1. Подставим: 6(1)² + 1 - 1 = 6 > 0. Значит, здесь знак положительный.
5. Соберем все результаты: Мы выяснили, что многочлен положителен на интервалах (-∞, -1/2) и (1/3, +∞).
6. Запишем окончательный ответ: Неравенство 6x² + x - 1 > 0 выполняется для x ∈ (-∞, -1/2) ∪ (1/3, +∞).

Таким образом, решение неравенства: x < -1/2 или x > 1/3.