Чтобы решить уравнение (sin2x + √3cos2x)² - 5 = cos(π/6 - 2x), давайте пошагово разберем его.

Начнем с того, что перенесем 5 на правую сторону уравнения:

1. (sin2x + √3cos2x)² = cos(π/6 - 2x) + 5.

Мы знаем, что cos(π/6) = √3/2. Таким образом, у нас есть:

1. cos(π/6 - 2x) = cos(π/6)cos(2x) + sin(π/6)sin(2x).
2. cos(π/6 - 2x) = (√3/2)cos(2x) + (1/2)sin(2x).

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:

1. (sin2x + √3cos2x)² = (√3/2)cos(2x) + (1/2)sin(2x) + 5.

Теперь нужно упростить левую часть уравнения (sin2x + √3cos2x)². Раскроем скобки:

1. (sin²(2x) + 2sin(2x)√3cos(2x) + 3cos²(2x)).

Теперь у нас есть:

1. sin²(2x) + 3cos²(2x) + 2√3sin(2x)cos(2x) = (√3/2)cos(2x) + (1/2)sin(2x) + 5.

Соберем все члены на одной стороне:

1. sin²(2x) + 3cos²(2x) + 2√3sin(2x)cos(2x) - (√3/2)cos(2x) - (1/2)sin(2x) - 5 = 0.

Для упрощения, давайте обозначим t = sin(2x) и использовать основное тригонометрическое тождество sin²(2x) + cos²(2x) = 1, чтобы выразить cos²(2x) через t:

1. cos²(2x) = 1 - t².

Теперь подставим cos²(2x) в уравнение:

1. t² + 3(1 - t²) + 2√3t(√(1 - t²)) - (√3/2)(√(1 - t²)) - (1/2)t - 5 = 0.

Теперь нам нужно решить это уравнение относительно t. Это может быть сложным, и могут потребоваться численные методы или графический анализ для нахождения корней.

После нахождения значений t, мы можем найти 2x, а затем x, используя обратные тригонометрические функции:

1. 2x = arcsin(t) + kπ, где k - любое целое число.
2. x = (arcsin(t) + kπ)/2.

Таким образом, мы можем найти все возможные значения x, соответствующие данному уравнению. Если у вас есть конкретные значения для t, пожалуйста, дайте знать, и мы можем продолжить решение.