Чтобы решить неравенство 4x² - 11x - 3 ≥ 0, следуем следующим шагам:

1. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения: 4x² - 11x - 3 = 0.
2. Используем формулу дискриминанта: D = b² - 4ac, где a = 4, b = -11, c = -3.
3. Подставим значения:
• D = (-11)² - 4 * 4 * (-3) = 121 + 48 = 169.
4. Корни уравнения находятся по формуле: x = (-b ± √D) / (2a).
5. Подставим значения:
• x₁ = (11 + √169) / (2 * 4) = (11 + 13) / 8 = 24 / 8 = 3.
• x₂ = (11 - √169) / (2 * 4) = (11 - 13) / 8 = -2 / 8 = -1/4.
6. Теперь у нас есть корни: x₁ = 3 и x₂ = -1/4.
7. Решим неравенство: 4x² - 11x - 3 ≥ 0. Мы будем исследовать знаки на промежутках, определяемых корнями:
• Промежутки: (-∞, -1/4), (-1/4, 3), (3, +∞).
8. Выберем тестовые точки:
• Для (-∞, -1/4): x = -1 → 4(-1)² - 11(-1) - 3 = 4 + 11 - 3 = 12 (положительно).
• Для (-1/4, 3): x = 0 → 4(0)² - 11(0) - 3 = -3 (отрицательно).
• Для (3, +∞): x = 4 → 4(4)² - 11(4) - 3 = 64 - 44 - 3 = 17 (положительно).
9. Знаки на промежутках:
• (-∞, -1/4) - положительно.
• (-1/4, 3) - отрицательно.
• (3, +∞) - положительно.
10. Неравенство выполняется на промежутках: (-∞, -1/4] и [3, +∞).

Ответ: x ∈ (-∞, -1/4] ∪ [3, +∞).