Давайте решим уравнение 2sin(2x) = 4cos(x) - sin(x) + 1 на отрезке [π/2; 3π/2].

Первое, что мы сделаем, это упростим уравнение. Заменим sin(2x) с помощью формулы: sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Таким образом, уравнение станет:

• 2 * 2sin(x)cos(x) = 4cos(x) - sin(x) + 1
• 4sin(x)cos(x) = 4cos(x) - sin(x) + 1

Теперь перенесем все члены в одну сторону уравнения:

• 4sin(x)cos(x) - 4cos(x) + sin(x) - 1 = 0

Чтобы упростить уравнение, можно выделить общий множитель. Обратите внимание, что в первом и втором членах есть cos(x):

• 4cos(x)(sin(x) - 1) + sin(x) - 1 = 0

Теперь сгруппируем подобные члены:

• (4cos(x) + 1)(sin(x) - 1) = 0

Теперь мы можем решить это произведение, приравняв каждое из множителей к нулю:

1. 4cos(x) + 1 = 0
2. sin(x) - 1 = 0

Решим первое уравнение:

• 4cos(x) = -1
• cos(x) = -1/4

Теперь найдем значения x, для которых cos(x) = -1/4 на отрезке [π/2; 3π/2]. Поскольку косинус отрицателен во втором и третьем квадранте, мы можем использовать арккосинус:

• x = π - arccos(1/4) (второй квадрант)
• x = 2π - arccos(1/4) (третий квадрант, но нужно проверить, попадает ли это значение в наш отрезок)

Теперь решим второе уравнение:

• sin(x) = 1

Это уравнение имеет решение x = π/2, которое также попадает в наш отрезок.

Теперь подытожим все корни:

• x = π/2 (из второго уравнения)
• x = π - arccos(1/4) (из первого уравнения)
• Не забывайте проверить, что 2π - arccos(1/4) не попадает в отрезок [π/2; 3π/2].

Так, окончательные корни уравнения на заданном отрезке:

• x = π/2
• x = π - arccos(1/4)

Это и есть все корни уравнения на отрезке [π/2; 3π/2]. Если есть вопросы, не стесняйтесь спрашивать!