При каких значениях a неравенство x^2 + ax - 7a < 0 выполняется для всех x, таких что 1 < x < 2?

Алгебра 11 класс Неравенства неравенство алгебра x^2 + ax - 7a значения a выполнение неравенства область определения анализ функции Новый

Для того чтобы неравенство x^2 + ax - 7a < 0 выполнялось для всех x из интервала (1, 2), необходимо, чтобы парабола, заданная квадратным трёхчленом, находилась ниже оси x на этом интервале. Рассмотрим функцию:

f(x) = x^2 + ax - 7a.

Парабола открыта вверх, так как коэффициент при x^2 положителен. Чтобы f(x) < 0 для всех x в интервале (1, 2), необходимо, чтобы:

1. f(1) < 0,
2. f(2) < 0.

Теперь найдем значения f(1) и f(2):

1. Подставим x = 1:

f(1) = 1^2 + a*1 - 7a = 1 + a - 7a = 1 - 6a.

Для того чтобы f(1) < 0, необходимо:

1 - 6a < 0.

Решим это неравенство:

-6a < -1,

a > 1/6.

2. Теперь подставим x = 2:

f(2) = 2^2 + a*2 - 7a = 4 + 2a - 7a = 4 - 5a.

Для того чтобы f(2) < 0, необходимо:

4 - 5a < 0.

Решим это неравенство:

-5a < -4,

a > 4/5.

Теперь у нас есть два условия:

• a > 1/6,
• a > 4/5.

Из этих условий видно, что более строгое условие - это a > 4/5. Таким образом, для того чтобы неравенство x^2 + ax - 7a < 0 выполнялось для всех x, таких что 1 < x < 2, необходимо, чтобы:

a > 4/5.