Чтобы уравнение (k-1)x² - 4x + k + 2 = 0 имело равные корни, необходимо, чтобы его дискриминант был равен нулю. Дискриминант D для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 вычисляется по формуле:

D = b² - 4ac

В нашем случае:

• a = k - 1
• b = -4
• c = k + 2

Подставим значения a, b и c в формулу для дискриминанта:

D = (-4)² - 4(k - 1)(k + 2)

Теперь вычислим D:

D = 16 - 4(k - 1)(k + 2)

Раскроем скобки:

D = 16 - 4[(k - 1)(k + 2)]

Вычислим произведение (k - 1)(k + 2):

(k - 1)(k + 2) = k² + 2k - k - 2 = k² + k - 2

Теперь подставим это обратно в выражение для D:

D = 16 - 4(k² + k - 2)

Упростим это выражение:

D = 16 - 4k² - 4k + 8

D = 24 - 4k² - 4k

Теперь, чтобы уравнение имело равные корни, установим D равным нулю:

24 - 4k² - 4k = 0

Упростим уравнение:

4k² + 4k - 24 = 0

Разделим всё на 4:

k² + k - 6 = 0

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения с помощью формулы корней:

k = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Где a = 1, b = 1, c = -6:

k = (-1 ± √(1² - 4 * 1 * (-6))) / (2 * 1)

Вычислим дискриминант:

1 + 24 = 25

Теперь подставим дискриминант в формулу:

k = (-1 ± 5) / 2

Теперь найдем два значения для k:

• k1 = (-1 + 5) / 2 = 4 / 2 = 2
• k2 = (-1 - 5) / 2 = -6 / 2 = -3

Таким образом, уравнение (k-1)x² - 4x + k + 2 = 0 имеет равные корни при значениях:

k = 2 и k = -3